1. Производственная задача

Предполагается, на некоторой территории исторически сложилась геодезическая сеть, Координаты пунктов которой значатся в исходном каталоге, но нет сведений ни о реальной точности положения этих пунктов по отношению к неизвестному началу счета, нет сведений о перезакладке знаков, нет сведений о датах и реальной методике развития сетей сгущения.

В порядке актуализации топографо-геодезических данных, обусловленных переходом к ГИС-технологиям, на данной территории было выполнено обновление сети с использованием современных геодезических технологий.

Необходимо:

• оценить состояние сети, представленной архивными данными с целью оценки возможности ее дальнейшего использования в качестве опорной сети или сети сгущения;

• определить ключи перехода в единую систему координат, реализованную обновленной геодезической сетью.

2. Определение ключа перехода от одной плоской системы координат к другой

Для получения полной картины изменения положения всех пунктов сети, выполняют анализ сложившейся ситуации относительно центра тяжести (ЦТ) всей системы реперов]. Для этого вычисляются координаты ЦТ:

Хцт = Х/n, (2.1.)

Уцт = У/n . (2.2.)

Если в сети присутствуют мобильные пункты, то, сместившись за время между циклами, они изменят координаты ЦТ по сравнению с первоначальными. Тогда каждый пункт будет определяться двумя параметрами полярной системы координат - полярной дальностью S и ее дирекционным углом , которые находятся по формулам:

i=Хi-Хjцт , (2.3)

 Yi=Yi-Yjцт,

S=i^2+Yi^2;

=arctg(Yi/i) . (2.4)

По формулам (2.3.) вычисляются приращения координат для каждого i-го пункта сети относительно ЦТ системы в каждом j-ом цикле (j=2).

По сути, двумерная задача оказалась разложений на две ортогональные одномерные задачи, которые не имеют между собой математических (аналитических) связей, но сохранили общую задачу, то есть объединены логическими связями.

Чтобы отобразить динамику смещения пунктов сети, рекомендуется совместить 2 векторных диаграммы, то есть вычислять S и . относительно одного из ЦТ – или 1-го, или 2-го цикла, тогда можно изобразить картину смещения всех пунктов сети, в том числе и тех, которые при уравнивании принимались за исходные. В таком случае вектор смещения появится как у стабильных, так и мобильных пунктов.

Для анализа ситуации нужно вычислить разницы дирекционных углов , полученные для одного и того же направления в двух сравниваемых циклах, и масштабные коэффициенты М, характеризующие изменение полярных дальностей S для каждого пункта за время между циклами.

i=2-1,

Мi=S2/S1, (2.5.)

где i – номер пункта, j и Sj – полярные координаты i-го пункта в j-ом цикле, вычисленные относительно одного ЦТ.

Если значения  незначительны или имеют преобладание одного знака, значит пункты стабильны. Для некоторых пунктов величины  могут оказаться значительно более существенными, а их знак будет противоположным по отношению к преобладающему знаку в системе. Такой факт можно назвать одним из признаков неустойчивости пункта.

Теоретически, при неизменном положении пунктов сети масштаб должен быть равен 1. Значительное отклонение значения М от единицы также является признаком мобильности пункта. Сделать вывод о стабильности и мобильности пунктов, можно используя графическую интерпретацию полученных результатов – составив векторную диаграмму смещения пунктов за время, прошедшее между двумя циклами. Для этого нужно нанести на бумагу пункты сети по координатам, полученным после уравнивания двух циклов, и построить вектора смещения (для наглядности масштабом можно пренебречь). Если в двух циклах в качестве исходных принималась одна пара пунктов, то на векторной диаграмме они не будут иметь смещения, так как их координаты не изменялись, и составленная интерпретационная картина будет отображать изменение положения пунктов относительно исходных. Учитывая, что выбор опорных реперов был случайным, нужно принимать во внимание возможность мобильности и этих пунктов. Также на векторной диаграмме можно отразить смещение пунктов относительно ЦТ системы. Для этого по координатам наносятся пункты сети и ЦТ, а затем откладываются вычисленные значения  и М. На таком рисунке можно проследить динамику движения всех пунктов, включая исходные.

Для анализа полученных значений значения  и М можно использовать также непараметрический критерий. Для этого составляется таблица, где в столбцах, соответствующих той или иной комбинации пунктов, которые участвовали в измерениях, каждому пункту ставится «+» или «-», в зависимости от величины  и М. Если , приписанное определенному пункту сильно отличается от остальных, или М недопустимо далеко от 1, то всем пунктам, влияющим на результат, приписывается «+», для остальных пунктов оставляются пробелы. Если же  или М гармонируют с результатами других пунктов, то есть можно установить зависимость между полученными значениями, напротив этих пунктов ставится «-». В качестве непараметрического критерия используется сумма «+» и «-», полученная каждым пунктом в результате оценки по строкам таблицы. Чем больше «+» у пункта, тем больше вероятность его мобильности. Соответственно, чем больше «-», тем вероятнее его стабильность. Составляется 2 таблицы – для  и М, которые оцениваются вне зависимости друг от друга. Заключительный вывод делается при сопоставлении результатов этих таблиц.

Однако, можно продолжить аналитическое решение задачи. Для этого определим средние значения _ср и масштаба М_ср, кроме того вычислим отклонения значений  и М. Обозначим их соответственно _ и  _М.

Большинство величин _ будут иметь одинаковый знак и небольшую абсолютную величину, эти значения будут характеризовать стабильные пункты. Отдельные значения будут иметь значительную абсолютную величину, а их знак будет отличаться от остальных. Эти значения будут характеризовать сместившиеся пункты.

Аналогично можно выполнить анализ по значения  _М.

Недостатком является необходимость рассуждений по поводу абсолютных величин и знаков параметров _ и  _М.

Для принятия обоснованных решений выполним оценку точности полученных результатов по традиционным формулам, которая позволяет оценить достоверность сделанных выводов.

m²_S=(S/X)^2. m²_ + (S/Y)^{2 .} m²_;

m²_=(/X)^2. m²_ + (/Y)^{2 .} m²_; (2.6.)

m²_M=(M/X)^2. m²_ + (M/Y)^{2 .} m²_,

где /X и /Y – частные производные функций S,  и М по приращениям координат X и Y.

Для принятия решения о стабильности положения пунктов по азимуту необходимо вычислить среднюю квадратическую ошибку величины .

m²_=((/X)² m²_ + (/Y)² m²_)₁+(/X)² m²_ + (/Y)² m²_)₂)

Если конкретное _ превзойдет свою утроенную среднюю квадратическую ошибку, то его можно считать аномальным, а если оно еще по знаку отличается от большинстве аналогичных величин, то данный пункт должен быть принят за сместившийся, и из дальнейшего анализа исключен.

Аналогичным способом нужно поступить и с масштабами по разным направлениям.

После выявления сместившихся пунктов необходимо повторить определение параметров _ и  _М., но только по значения координат стабильных пунктов. Эти параметры, совместно со значениями смещений по отношению к ЦТ позволят построить алгоритм прямого и обратного преобразования координат, который представляется очевидным.

Отметим, что для большинства реальных задач нам не известны точностные характеристики значений координат, заданных в каталогах. В этом случае можно обойтись без точностного анализа и выявит явно сместившиеся пункты по описанному выше правилу, пользуясь интуицией. В результате будут получены приближенные значения *_ и * _М.. По ним можно выполнить преобразование координат Получить остаточные значения приращений координат, по этим приращения можно рассуждать о пригодности того или иного пункта в качестве пункта каркасной сети в зависимости от поставленной задачи.

На практике чаще всего поступают именно так.