2.4. Метод хорд

М етод хорд є одним із поширених методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Він, як і метод половинного ділення, призначений для уточнення кореня рівняння на інтервалі , на кінцях якого ліва частина рівняння приймає різні знаки. На відміну від методу половинного ділення чергове наближення в методі хорд береться не в середині відрізку, а в точці х₁, в якій пряма лінія, проведена через точки і , перетинає вісь абсцис (рис. 10). Отже, ідея методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому проміжку дуга кривої замінюється стягуючою її хордою і за наближене значення кореня приймається точка перетину хорди з віссю абсцис.

За новий інтервал для продовження ітераційного процесу вибирають той з двох або , на кінцях якого функція приймає значення з різними знаками.

Процес уточнення кореня закінчується, коли відстань між черговими наближеннями буде менше заданої похибки ε₁

або коли значення функції попадуть в область шуму, тобто

Рівняння прямої лінії, що проходить через точки і має вигляд

Коефіцієнти k і c рівняння цієї прямої визначають наступним чином

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримують

Точку перетину прямої з віссю абсцис знаходять, прирівнюючи до нуля

або

На завершення треба відзначити, що в більшості випадків при розв’язанні рівнянь методом хорд застосовується менша кількість ітерацій порівняно з методом половинного ділення.

2.5. Метод Ньютона (метод дотичних)

Г еометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис. 11), що дуга кривої замінюється дотичною до цієї кривої (звідси і друга назва: метод дотичних).

Припустимо, що відділенням коренів знайдено початкове наближення х₀ до кореню. В точці х₀ розраховують ліву частину розв’язуваного рівняння , а також похідну в цій точці Наступне наближення до кореню знайдемо в точці х₁, де дотична до функції , що проведена із точки , перетинає вісь абсцис. Отриману точку х₁ приймають за начальну і продовжують далі ітераційний процес. З рис. 11 видно, що таким способом можна наближатися до кореню х*. При цьому з кожною ітерацією відстань між черговим x_n+1 і попереднім x_n наближеннями до кореню буде зменшуватися. Процес уточнення кореню закінчується, коли виконується умова

де ε – допустима похибка визначення кореню.

З геометричних співвідношень (див. рис. 11) отримують основну формулу методу Ньютона

У загальному вигляді для n-го кроку ітераційного процесу це співвідношення запишеться наступним чином

Отже, на кожному кроці ітерації відбувається заміна графіка функції дотичною до нього.

Методу Ньютона притаманна висока швидкість збіжності ітераційного процесу (достатньо 5 – 6 ітерацій для досягнення абсолютної точності рішення 10^–5 – 10^–6.

Недоліком методу Ньютона є необхідність розрахунку на кожній ітерації не тільки лівої частини рівняння, але й її похідної.

Можна, дещо знизивши швидкість збіжності, обмежитися розрахунком похідної тільки на першій ітерації, а потім обчислювати лише значення , не змінюючи похідну . Цей алгоритм називають модифікованим методом Ньютона

Г еометричний зміст модифікованого методу Ньютона продемонстровано на рис. 12.

Метод Ньютона можна застосовувати для уточнення коренів в області комплексних значень х, що необхідно при розв’язанні багатьох прикладних задач.