2.6. Метод січних

У методі Ньютона треба розраховувати похідну функції, що не завжди зручно. Якщо ітерації x_n і x_n+1 розташовані достатньо близько одна до одної, то похідну в алгоритмі Ньютона можна замінити її наближеним значенням у вигляді відношення приросту функції і приросту аргументу . Отже, можна записати формулу методу січних

Для того щоб почати ітераційний процес, необхідно задати два початкових наближення х₀ і х₁. Потім кожне нове наближення до кореню отримують за вище написаною формулою. Процес уточнення кореню закінчується при виконанні умови

де ε – задана абсолютна похибка визначення кореню.

Ітераційні процеси, в яких для розрахунку чергового наближення потрібно знати два попередніх, називають двокроковими. Ця, нібито, невелика зміна в алгоритмі сильно впливає на характер ітерацій, тому метод січних дещо уступає методу Ньютона в швидкості збіжності, але він не вимагає обчислення похідної лівої частини рівняння.

З азначимо, що геометричний зміст змін, внесених до алгоритму Ньютона, полягає в тому, що від апроксимації функції дотичною зроблено перехід до січної (рис. 13).

За алгоритмом метод січних близький до алгоритму методу хорд, але на відміну від методу хорд початкові наближення в методі січних можуть розташовуватися як з різних боків від кореню, так і з одного боку; крім того, при уточненні кореню не повторюються знаки функції .

2.7. Метод простих ітерацій

Замінимо рівняння рівносильним рівнянням . Цього можна досягти багатьма способами, наприклад, поклавши де – довільна неперервна знакопостійна функція.

Нехай ξ – корінь цього рівняння, а х₀ – отримане якимось способом нульове наближення до кореню ξ. Підставимо х₀ в праву частину записаного вище рівняння, отримаємо деяке число Виконаємо те ж саме з х₁, отримаємо і т. д. Застосовуючи крок за кроком співвідношення для n = 1, 2, …, утворюємо числову послідовність х₀, х₁, …, х_n, яку називають послідовністю наближень або ітераційною послідовністю.

П роцес побудови ітераційної послідовності має просту геометричну інтерпретацію (рис. 14).

Якщо ітераційна послідовність збігається, а функція неперервна, то ліміт послідовності є шуканим коренем рівняння.

15

ЛЕКЦІЯ № 2 (алгоритми та методи обчислень)