Входные характеристики смо

Входные характеристики СМО определяются потоком событий, т.е. последовательностью однородных дискретных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Таким образом, работа СМО является случайным процессом с дискретным состоянием и непрерывным временем, т.е. состояние СМО изменяется скачкообразно в случайные моменты появления каких-либо событий.

Случайный процесс называется Марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Далее мы будем рассматривать Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем.

Интенсивностью потока событий называется среднее число событий (заявок), поступающих в СМО в единицу времени , Т – время.

Простейшим потоком событий называется поток, если он является стационарным, ординарным и не имеет последействия.

Стационарным потоком событий является поток, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока – величина постоянная, .

Поток событий без последействия – это поток, число событий которого, попавших на заданный временной интервал, не зависит от числа событий, попавших на другие интервалы.

Ординарный поток событий – поток, в котором вероятность попадания на элементарный временной интервал двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Одноканальная смо с отказами

Представим данную СМО в виде графа, у которого имеется два состояния:

- канал свободен (ожидание);

- канал занят (идет обслуживание заявки).

Обозначим вероятности состояний:

- вероятность состояния «канал свободен»;

- вероятность состояния «канал занят».

По размеченному графу состояний (рис) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Система линейных дифференциальных уравнений имеет решение с учетом нормировочного условия . Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом: . Для одноканальной СМО с отказами вероятность есть не что иное, как относительная пропускная способность системы Q.

Входные характеристики и показатели эффективности одноканальной СМО с отказами:

Интенсивность обслуживания , где - среднее время обслуживания одного клиента.

Относительная пропускная способность, равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле: , эта величина равна финальной вероятности того, что канал обслуживания свободен.

Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят» . Данная величина может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Задача: Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка – автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей в час. Средняя продолжительность обслуживания . Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

1. Относительной пропускной способности;

2. Абсолютной пропускной способности;

3. Вероятность отказа.

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение: Определим интенсивность потока обслуживания:

Относительная пропускная способность: , данная величина означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать 35,7% пребывающих на пост автомобилей.

Абсолютная пропускная способность , это означает, что система способна осуществить в среднем 0,357 обслуживаний автомобилей в час.

_{Вероятность отказа , это означает, что 64% прибывших на пост автомобилей получает отказ в обслуживании.}

_{Из вычислений следует, что номинальная пропускная способность системы в 1,56 раза больше, чем фактическая пропускная способность , вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.}