4. Эквивалентность общих и канонических уравнений прямой

1. Покажем, как перейти от уравнений (18) к (17).

Используя (18), составим систему уравнений:

Или:

Каждое из полученных уравнений задает плоскость:

. ;

.

Следовательно, от канонических уравнений прямой мы перешли к общим.

2. Покажем, как перейти от уравнений (17) к (18).

Пусть прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:

,

.

Чтобы перейти к каноническим уравнениям (18), надо найти точку и вектор .

а) Для отыскания точки одну из ее координат (например, ) зададим произвольно, а две другие найдем из системы уравнений (17).

б) Вектор определим из следующих соображений. , где нормали плоскостей и соответственно. Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять .

Зная точку и вектор , выписываем канонические уравнения прямой (18).

Пр. Перейти от общих уравнений прямой

к каноническим.

Решение.

1) Положим . Из уравнений прямой найдем . Следовательно, точка .

2) . Тогда направляющий вектор прямой .

Выписываем канонические уравнения прямой :

.

5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Даны две точки . Составим уравнения прямой.

Возьмем произвольную точку . Очевидно, что . Тогда

. (20)

6. Угол между прямыми в пространстве

Опр. Углом между двумя прямыми в пространстве называется меньший из углов, образованных двумя прямыми, проходящими через одну точку параллельно данным.

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

, .

Тогда . Поэтому

.

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности двух прямых:

Условие расположения прямых в одной плоскости.

Пусть , . Тогда векторы компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю: .

§ 9. Плоскость и прямая в пространстве

1 . Угол между прямой и плоскостью.

Опр. Углом между прямой и плоскостью называется меньший из двух смежных углов между прямой и ее проекцией на плоскость.

Таким образом, угол между прямой и плоскостью принимает значения в промежутке .

Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

, .

Найдем угол между ними. Рассмотрим векторы

, . .

Условие параллельности прямой и плоскости:

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

2. Пересечение прямой и плоскости

Пусть заданы плоскость и прямая

, .

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой и подставим их в уравнение плоскости

.

1. Если , то находим значение t:

;

подставляем его в уравнения прямой и находим координаты точки пересечения.

2. Если =0, то , при этом:

а) если , то , т.е. прямая целиком лежит в плоскости;

б) если , то , т.е. прямая параллельна плоскости и не имеет с ней общих точек.

ПР. Написать уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости . Найти точку пересечения и .

§10. Поверхности

Опр. Пусть некоторая функция, связывающая три переменные. Множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется поверхностью в 3-мерном пространстве.

Если функция линейная, то поверхность является плоскостью.