2.3. Криві другого порядку

Завдання 2.3

1. Шляхом паралельного перенесення системи координат привести рівняння гіперболи до виду , вказати асимптоти, побудувати системи координат і дану гіперболу до рівняння .

2. Привести рівняння кривих другого порядку до канонічного виду за допомогою паралельного перенесення системи координат. Побудувати відповідні системи координат і криві по їх канонічним рівнянням. Привести рівняння кривої другого порядку шляхом повороту і паралельного перенесення системи координат до канонічного виду. Побудувати відповідні системи координат і кривої по її канонічному рівнянню. а) Побудувати лінію по її рівнянню в полярних координатах. б) Дано рівняння кривої в декартових координатах. Слід записати це рівняння в полярній системі координат, а затим побудувати дану лінію по її полярному рівнянню.

3. Розв’язати текстову задачу.

Теоретичні відомості. Коротка теорія, що наведена в завданні, носить довідковий характер і має лише допомогти студенту в самостійній роботі над літературою.

Загальні випадки кривої другого порядку визначає рівняння .(1)

Коефіцієнти при старших членах тут водночас не дорівнюють нулю. Оскількі рівняння відображає не тільки форму, але і положення лінії на площині щодо системи координат, то в загальному вигляді воно складніше, ніж відомі нам канонічні рівняння еліпса ,

гіперболи

чи

і параболи

або .

Простота канонічних рівнянь пояснюється тим, что при виведенні їх використовується спеціально обрана система координат, а саме: в випадку еліпса або гіперболи початок координат обирається в центрі кривої, а координатні осі збігаються з осями симетрії; в випадку параболи - початок координат вибирається в вершині кривої, а одна з осей збігається з віссю симетрії.

Змінюючи положення системи координат на площини, можна домогтися такого спрощення рівняння (1), що воно стане канонічним. В т.ч., наше завдання полягає в тому, щоб знайти нову систему координат, в якій рівняння (1) прийме канонічний вигляд.

При знаходженні цієї системи координат будемо використовувати два види перетворень координат.

1.Параллельний перенос осей координат. 2

Дано дві системи координат з різними початками і і однаковими напрямами осей (рис.1). Обозначимо через і координати довільної точки відповідно в старій і новій системах координат. Якщо координати нового початку в системі , то справедливі формули перетворень паралельного переносу осей координат.

, , чи (2)

, .

Рис. 1 Рис. 2

1. Поворот осей координат.

Дано дві системи координат з однаковим початком і різними напрямами осей. Нехай (рис.2) – кут між і (кут поворота системи координат). Справедливі формули перетворення повороту осей координат

(3)

,

де координати довільної точки в , координати цієї точки в новій системі координат .

Зразок розв’язання

1. Дано рівняння гіперболи у вигляді . Шляхом паралельного переносу системи координат привести її рівняння до виду , вказати асимптоти гіперболи, побудувати відповідні системи координат і дану гиперболу по рівняння .

Розв’язання.

Зі школьного курсу алгебри відомо, що графіком функції є гіпербола, асимптоти якої паралельні і (см. Привалов, гл.5, §5, п.2). З іншої сторони, графік функції гіпербола, асимптоти якої є і . Таким чином, взявши за координатні осі асимптоти функції , ми приведемо цю функцію до більш простого виду (при цьому користуємося формулами перетворення паралельного переноса (2) ). Отже, в системі задана лінія рівнянням

.(4)

Виконаємо паралельний перенос системи за формулами (2)

, ,(2)

де координати нового початку в системі ; координати довільної точки в системе ; координати тієї ж точки в системе .

Скориставшись формулами (2), запишемо рівняння (4) у вигляді

.

Помножимо обидві частини цього рівняння на вираз і розкриємо дужки, отримаємо

.

Згрупуємо члени, що містять ,

.(5)

Оберемо точку так, щоб члени, що містять , обернулись в нуль, тобто покладемо , звідки координати нового початку. Підставимо ці значення в рівняння (5), маємо , або . (6)

Рівняння (6) – рівняння рівнобічної гіперболи, асимптотами якої є нові осі координат.

Зобразимо обидві системи координат і побудуємо дану лінію по її рівнянню (6) в системі координат (рис.3)

Рис. 3

2. Дано рівняння кривих другого порядку:

а) ,

б) .

Потрібно за даним рівнянням визначити, якого типу крива (еліптичного, гіперболічного, параболічного), потім слід привести це рівняння до канонічного вигляду за допомогою паралельного перенесення системи координат, побудувати відповідні системи координат і криву за її канонічном рівнянням.

Розв’язання завдання 2 (см. Привалов, гл.5, §6, п.3)