Нехай рівняння кривої другого порядку має вигляд

.(7)

Такий вигляд рівняння визначає криву, осі симетрии якої паралельні осям координат (чи, в випадку нецентральної кривої, вісь симетрії паралельна одній з осей). Вибравши в якості нових осей координат осі симетрії, чи здійснивши паралельний перенос системи координат, рівняння (7) може бути приведено до канонічного вигляду.

Відомо також, що 1) якщо , то рівняння (7) визначає криву еліптичного типу ; 2) якщо , то гіперболічного ; 3) якщо параболічного .

Перший спосіб розв’язання завдання 2 а).

Лінія другого порядку задана рівнянням

.

В цьому рівнянні . Оскільки , то дана лінія – параболічного типу. Шляхом паралельного переносу системи координат приведем рівняння до виду . Підставимо замість їх вираз через в формули (2) : , , отримаємо

, чи

, чи

.(8)

Підберемо так, щоб доданок з і вільний член обернулись в нуль, тобто, вважаючи , , знайдемо , координати нового початку .Знайдені значення підставимо в рівняння (8), отримаємо .

Побудуємо системи координат (дану) і . Рівняння в системі координат визначає параболу з вершиною в точці і віссю симетрії (рис.4).

Рис. 4

Другий спосіб роз’вязання завдання 2 а).

Візьмемо те ж рівняння

і роз’вяжем його відносно : .

Виділимо повний квадрат відносно

, чи .

Таким чином, маємо рівняння параболи з вершиною в точці, координати якої . Помістимо початок нової системи координат в вершину параболи, в точку , і виконаємо паралельний перенос осей координат, використовуючи формули

,

Тоді рівняння даної параболи в системі (см. рис.4) При якому значенні т .

Розв’язання завдання 2 б).

Дано рівняння

.

Оскільки , , то рівняння визначає криву еліптичного типу. Приведемо рівняння до канонічного вигляду. Згрупуємо доданки з і доданки з

, чи

,

Виділимо повний квадрат відносно і

, чи

,

остаточно маємо

.

Перенесемо початок координат в точку і скористаємося формулами паралельного переносу системи координат

,

чи, враховуючи координати вибраного початку,

,

Тоді рівняння данного эліпсу в системі буде виглядати так:

.

Побудуємо обидві системи координат і еліпс.

Рис. 5

3. Дано рівняння кривої другого порядку

.

Потрібно привести дане рівняння шляхом повороту паралельного перенесення системи координат до канонічного вигляду. Побудувати відповідні системи координат и дану криву по її канонічному рівнянню.

Розв’язання завдання 3.

Розглянемо рівняння кривої другого порядку загального виду

.(9)

Інваріантом рівняння (9) називают алгебраїчний вираз , складений з коефіцієнтів при старших членах рівняння (9) , який не змінюється при будь-якому перетворенні координат.

З допомогою інваріанта визначають приналежність кривої до певного типу: 1) якщо , то рівняння визначає криву еліптичного типу ; 2) якщо , то гіперболічного типу ; 3) якщо , то параболічного типу.

Оскільки в рівнянні (9) , то осі симетрії кривої не паралельні осям координат . Повернемо осі координат так, щоб они стали паралельні осям симетрії кривої, для цього використаємо формули повороту осей координат (3) : , . Підставимо вираз для в рівняння (9), маємо

Розкриємо дужки і приведемо подібні члени, в нових координатах отримуємо рівняння

,(10)

де ,

,

,

, .

Виберемо кут так, щоб в новій системі координат осі симетрії були паралельні осям координат , тобто покладемо , чи

.

Оскільки , тому . Після повороту осей координат на цей кут в рівнянні(10) зникне добуток змінних .

В завданні 3 дано рівняння

.

Оскільки , , то рівняння визначає криву гіперболічного типу. Приведемо його до канонічного вигляду. Для цього на початку виконаємо поворот системи координат на кут , для якого ; за формулами тригонометрії

, , знаходимо

, , і записуємо за формулами повороту осей координат (3)

,

.

Підставим вираз і в дане рівняння, отримаємо

.

Розкриємо дужки, приведемо подібні члени, отримаємо

.

Виконаємо паралельний перенос системи координат, приведем це рівняння до канонічного рівняння гіперболи. Для цього згрупуємо доданки з одноіменними змінними

,

Виділимо повні квадрати відносно ,

, чи

, чи

.

Покладемо початок нової системи координат в точку , використаємо формули паралельного переносу (2)

, , чи, враховуючи координати нового початку ,

, , остаточно отримаємо

.(11)

Побудуємо всі три системи координат , , , враховуючи, що кут повороту системи

,

а точка в системі координат має координати . В систему координат помістимо криву (гіперболу), яка визначається рівнянням (11).

Рис. 6