Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития Основные понятия

Динамический ряд – это размещенные в хронологической последовательности значения определенного статистического показателя. Составляющими динамичного ряда являются признак времени t (момент или интервал) и числовые значения показателя – уровни y_t. В соответствии с классификацией показателей по признаку времени динамичные ряды делят на моментные и интервальные. В моментных рядах уровни фиксируют состояние явления на определенные моменты времени, в интервальных – агрегированный результат за определенный промежуток времени. Примеры указанных рядов динамики приведены в табл. 7.1: где поквартальные объемы экспорта товаров – это интервальный ряд, а суммы резервов иностранной валюты на конец квартала – моментный ряд

Таблица 7.1.

Год, квартал	Объем экспорта товаров в ценах ФОБ, млн. дол. США	Сумма резервов иностранной валюты на конец квартала, млн. дол. США
1998 IV	–	4,7
1999 I	2,8	6,3
II	3,5	14,1
III	3,9	9,9
IV	4,2	9,1

Уровни динамичных рядов меняются, варьируют. Обобщающей их характеристикой есть средний уровень, который в интервальном ряду рассчитывается по формуле средней арифметической простой, а в моментном – по формуле средней хронологической. По данным табл. 7.1 среднеквартальный объем экспорта товаров составлял

млн. долл. США,

а среднеквартальный резерв иностранной валюты

млн. долл. США.

Изучая особенности развития социально-экономических явлений, определяют абсолютные и относительные характеристики динамики: абсолютный прирост и абсолютное значение 1% прироста; темп роста (индекс) и темп прироста. Расчет их основывается на сравнении уровней динамичного ряда. Если база сравнения постоянная, характеристики динамики называют базисными, если база сравнения переменная, в качестве которой используют предшествующий уровень – цепными.

Абсолютный прирост (уменьшение) – это разница уровней динамичного ряда

цепные , базисные .

Очевидно, что сумма цепных абсолютных приростов равно конечному базисному:

.

Темп роста T_p рассчитывается как отношение уровней ряда; выражается коэффициентом или процентом:

цепные , базисные .

Произведение цепных T_p равно конечному базисному:

.

Темп прироста Т_пр показывает, на сколько процентов уровень y_t больше (меньше) уровня, взятого за базу сравнения. Его можно определить как отношение абсолютного прироста к базе сравнения или непосредственно на основании темпа роста. Так, для цепных характеристик:

.

Аналогично взаимосвязаны и базисные характеристики динамики.

Абсолютное значение 1% прироста показывает, чего стоит один процент; рассчитывается как отношение абсолютного прироста и темпа прироста. Алгебраическое это отношение равно 0,01 уровня, взятого за базу сравнения:

.

Для базисных темпов прироста значения А% одинаковые.

Порядок расчета характеристик динамики рассмотрим на примере объема экспорта товаров (табл. 7.2).

За II–IV кварталы экспорт товаров из региона увеличился на 1,4 млн. долл. США, или на 50% по сравнению с І кварталом. Поквартальные абсолютные приросты и темп прироста уменьшались, однако абсолютное значение 1% прироста росло.

Таблица 7.2.

Квартал	Объем экспорта, млн. долл. США	Абсолютный прирост, млн. дол. США		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1% прироста, тыс. дол. США
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
І	2,8	--	--	--	100	--	--
ІІ	3,5	0,7	0,7	125	125	25	25	28
ІІІ	3,9	0,4	1,1	111	139	11	39	35
IV	4,2	0,3	1,4	108	150	8	50	39

Обобщающими характеристиками интенсивности динамики являются средний абсолютный прирост и средний темп роста . Средний абсолютный прирост рассчитывается как средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов:

.

Средний темп роста рассчитывают по формуле средней геометрической:

.

По данным табл. 7.2 млн. долл. США, , т.е. ежеквартально объем экспорта рос в среднем на 460 тыс. долл. США, или на 14,5%.

Если абсолютная или относительная скорость динамики в границах изучаемого периода неодинакова, сравнением одноименных характеристик за различные интервалы времени измеряется ускорение (замедление) динамики. Разница абсолютных цепных приростов характеризует абсолютное ускорение (+) или замедление (-) динамики. Для положительных абсолютных приростов можно определить относительное ускорение ( ). Если интервалы времени неодинаковые, используют средние абсолютные приросты соответствующих интервалов.

На основании темпов роста (базисных или средних) проводят сравнительный анализ интенсивности динамики параллельных рядов, например, грузооборота железнодорожного и автомобильного транспорта. Соотношение темпов роста типа называют коэффициентом опережения.

Если ряды динамики взаимосвязаны, т.е. их уровни представляют фактор х и результат y, из соотношения темпов прироста этих признаков определяют, на сколько процентов меняется y с изменением х на 1%. По содержанию отношение темпов прироста является коэффициентом эластичности . Например, цены на товар выросли на 5%, а спрос уменьшился на 3%. Темпы прироста цен и снижения спроса составляют, соответственно, = -3%, = +5%. Следовательно, , т.е. с ростом цен на 1% спрос уменьшается на 0,6%.

Предпосылкой анализа динамичных рядов является сравнимость данных, которая обеспечивается на этапах их сбора и обработки. Однако возможна ситуация, когда через изменение в методологии расчета показателя, структурные или территориальные сдвиги, изменение цен и тому подобное данные окажутся несравнимыми. Тогда используют специальные приемы соединения прерывистых рядов – "статистические ключи". Например, имеем прерывистый ряд:

Период	1	2	3
Уровень ряда:
до изменений	12	15	--
после изменений	--	18	22,5

Преодолеть прерывистость такого ряда можно двумя способами:

а) скорректировав одну из частей ряда на отношение уровней во 2-м периоде, например, 12•18/15= =12•1,2=14,4;

б) для каждой части ряда определить базисные темпы роста, приняв уровень 2-го периода за базу сравнения, т.е. .

Тенденция – это основное направление развития. В рядах с четко определенной тенденцией ее описывают аналитически при помощи определенной функции:

,

где t=0, 1, 2,. .,. n – переменная времени; Y_t – теоретические уровни ряда.

Указанную функцию называют трендовым равенством. Выбор функционального вида тренда зависит от характера динамики. Так, при относительно стабильных абсолютных приростах используют линейный тренд Y_t=a+bt, при стабильных темпах прироста – показательную функцию Y_t=ab^t и т.д. Соответственно параметр b в линейной функции характеризует средний абсолютный прирост, в показательной – средний темп роста. Параметр а в обеих функциях – это теоретическое значение уровня при t=0.

Рассчитываются параметры уравнений тренда методом наименьших квадратов, при этом нелинейные функции приводятся к линейному виду, например, логарифмированием lgY_t = lga + t lgb. Система нормальных уравнений имеет вид:

Если начало отсчета времени (t=0) перенести в середину ряда, то =0, а следовательно,

где .

Пример. Расчет линейного тренда показан в табл. 7.3 на примере экспорта сахара. По данным таблицы

Таблица 7.3

Год	Экспорт сахара, тыс. т yt	t	tyt	Yt	yt-Yt	(yt-Yt)2
1992	37	- 2	- 74	36,0	- 1,0	1,00
1993	39	- 1	- 39	39,9	- 0,9	0,81
1994	43	0	0	43,8	- 0,8	0,64
1995	48	1	48	47,7	0,3	0,09
1996	52	2	104	51,6	0,4	0,16
Всего	219	0	39	219	--	2,70

Параметры уравнения тренда составляют:

Следовательно, Y_t=43,8+3,9 t, т.е. средний уровень экспорта сахара составлял 43,8 тыс. т. Ежегодно экспорт сахара растет в среднем на 3,9 тыс. т. При условии, что комплекс причин, который формирует тенденцию, вскоре не изменится, можно продолжить тенденцию за границы динамичного ряда (экстраполировать тренд). Ожидаемый объем экспорта сахара в 1997 г. (t=3) составляет:

Y₁₉₉₇=43,8+3,9•3=55,5 или Y₁₉₉₇=51,6+3,9=55,5 тыс.т.

Это точечная оценка прогноза. Интервальная оценка прогноза, т.е. доверительные границы, определяется с определенной вероятностью , где s_p – погрешность прогноза;

t – доверительное число для принятого уровня вероятности;

v – период прогнозирования.

Погрешность прогноза s_p рассчитывается по формуле:

где – оценка остаточной дисперсии.

По данным табл. 7.3 , а следовательно, .

Подкоренное выражение равно 2,1, а . Критическое значение двухстороннего t-критерия для а=0,05 и числа степеней свободы (n-2)=5-2=3 составляет t_0,95(3)=2,57 (Приложение).

Таким образом, s_p =2,57•0,95•1,45=3,5, а доверительные границы прогнозного уровня 55,5±3,5.

Если в ряду динамики тенденция четко не проявляется, то прибегают к сглаживанию ряда. Суть его заключается в укрупнении интервалов времени и замене уровней первичного ряда средними по интервалам. Интервалы длиной m можно сформировать двояко:

а) последовательно, например, при m=3 уровни объединяются: 1-3, 4-6 и т.д; рассчитанные средние называют ступенчатыми;

б) скользящим способом, когда первый уровень i-го интервала заменяется следующим уровнем за границами интервала, например, 1-3, 2-4, 3-5 и т.д. Интервальные средние называют скользящими. Очевидно, что ряд скользящих средних короче первичного ряда на (m-1).

Для оценки вариации уровней динамичного ряда используют абсолютную меру – среднее квадратичное отклонение s_p и относительную меру – коэффициент вариации . По данным табл. 7.3, s_e=0,95, V_e=100•0,95/43,8=2,2%. Разницу 100-V_e используют для оценки постоянства динамичного ряда.

Разновидностью колебаний динамичных рядов являются сезонные колебания, т.е. более-менее устоявшиеся колебания по месяцам или кварталам года. При изучении сезонных колебаний используют относительные величины – индексы сезонности I_c. При отсутствии тенденции I_c рассчитываются как отношение фактических уровней y_t к среднему , т.е. . При наличии тенденции базой сравнения служат теоретические уровни Y_t, т.е. I_c=y_t/Y_t.

Таблица 7.4.

Месяц	Зарегистрировано браков	Ic	Ic-100	(Ic-100)2
Январь	776	97	- 3	9
Февраль	768	96	-4	16
Март	672	84	- 16	256
Апрель	760	95	- 5	25
Май	648	81	- 19	361
Июнь	805	101	1	1
Июль	868	109	9	81
Август	890	111	11	121
Сентябрь	979	122	22	484
Октябрь	832	104	4	16
Ноябрь	819	102	2	4
Декабрь	763	98	- 2	4
Всего	9600	100	--	1378

Пример. Анализ сезонной волны представлен в табл. 7.4 на примере числа зарегистрированных браков. Первичный ряд динамики не выявляет четкой тенденции, а поэтому индексы сезонности рассчитываются на основании постоянной средней.

Абсолютной мерой сезонных колебаний является амплитуда колебаний R=I_max-I_min. По данным табл. 7.4 R=122-81=41. Для сравнения интенсивности сезонных колебаний используют также среднее линейное отклонение или среднее квадратичное .

По данным табл. 7.4 среднее квадратичное отклонение составляет пункта.

Для характеристики закономерных колебаний в рядах динамики с меньшими интервалами времени (декада, пятидневка, сутки) вычисляют коэффициенты неравномерности: .