Элементы теории напряженного состояния
Рассмотрим произвольное упругое тело, находящееся в равновесии под действием сил. Выберем внутри тела произвольную точку А. Проведем через нее плоскость. Таких плоскостей можно провести бесконечное множество и в каждой из них будут действовать свои внутренние усилия и напряжения.
В
ырежем
из данного тела кубик со стороной, равной
единице,
чтобы точка А
оказалась внутри него. На каждой из
шести граней действует свое полное
напряжение.
Его можно разложить на три составляющие
– нормальную
σ и две
тангенциальные
τ.
Напряженное состояние в точке А характеризуется шестью тройками (т.к. шесть граней) таких векторов.
С
овместим
координатные оси с ребрами куба. Грани
куба обозначаются индексами осей
перпендикулярных им. Для касательных
напряжений добавляется индекс,
показывающий, параллельно какой оси
направлено это напряжение.
Из 6 · 3 = 18 неизвестных в действительности неизвестных всего шесть: 3 нормальных и 3 касательных напряжений.
Правило для индексов у составляющих напряжения:
Первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке, второй – какой оси параллельно напряжение.
Тогда у нормальных напряжений будет два одинаковых индекса (пишут один).
Положения теории напряженного состояния:
1. Напряженное состояние в данной точке полностью определено, если известны напряжения по любым взаимно перпендикулярным площадкам.
2. Среди множества площадок, которые можно провести через данную точку, есть три такие взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Эти площадки называются главными, а нормальные напряжения, возникающие в них, называются главными напряжениями: σ1; σ2; σ3. Одно из этих напряжений — максимальное σ1, одно — минимальное σ3.
Классификация видов напряженного состояния проводится по главным напряжениям:
Объемное (трехосное) напряженное состояние – это такое состояние, при котором по главным площадкам действуют все три главных напряжения.
σ1 ≠ 0; σ2 ≠ 0; σ3 ≠ 0.
Плоское (двухосное) напряженное состояние – это такое состояние, при котором одно из напряжений равно нулю. Элемент изображают не в виде куба, а в виде квадрата, совмещая грани куба, на которых нет напряжений, с плоскостью чертежа.
σ1 ≠ 0; σ2 ≠ 0; σ3 = 0.
Линейное напряженное состояние – это такое состояние, при котором два главных напряжения равны нулю.
σ1 ≠ 0; σ2 = 0; σ3 = 0.
Пример расчетов задач по теме «растяжение-сжатие»
Задача 1.
Для данного стержня требуется:
1) построить эпюру продольных усилий – N;
2) построить эпюру нормальных напряжений – σ;
3) построить эпюру перемещений точек, лежащих на оси стержня – ∆.
4) определить нормальные и касательные напряжения на площадках элемента, повернутого на угол 300 к оси стержня и взятого в точке, расположенной на расстоянии a/2 от нижнего конца стержня. Изобразить элемент, находящийся под воздействием указанных напряжений.
Номер варианта соответствует порядковому номеру в журнале и номеру строки в таблице к задаче 1. Из этой таблицы выписываем данные:
Р = 60 кН; А1 = 5 см2; А2 = 12 см2; а = 1 м; q = 40 кН/м;
сталь => Е = 200 ГПа = 200 • 109 Па.
Карандашом строго в выбранных масштабах и с помощью чертежных инструментов рисуем чертеж, соответствующий номеру варианта.
В заданиях на чертежах в разных вариантах указана либо сила реакции R, либо заделка.
1) Построение эпюры продольных усилий – N.
Эпюрой какой-либо величины называется закон изменения этой величины (график) вдоль длины конструкции.
а) Ось Х направляем вдоль стержня от заделки в сторону свободного конца. Сечения отсчитываем, начиная со свободного конца. Рассекаем стержень каждый раз, как только возникают новые силы или меняется площадь поперечного сечения стержня. Для удобства обозначим точки B, C, D, E.
б
)
Мысленно отбрасываем часть бруса справа
от сечения 1, заменяя его действие
продольным усилием N1.
Индекс у внутренних сил N
присваиваем в соответствии с нумерацией
сечения.
Записываем условие равновесия:
Р – N1 = 0.
Находим усилие в 1-м сечении:
N1 = Р = 60 кН – растяжение, т.к. N1 > 0 .
в) Мысленно отбрасываем часть бруса справа от сечения 2, заменяя его действие продольным усилием N2.
З
аписываем
условие равновесия:
Р + qx – N2 = 0.
Находим усилие во 2-м сечении:
N2 = Р + qx
N2 = 60 + 40x.
В точке С: х = 0,
N2с = 60 + 40•0 = 60 кН – растяжение.
В точке D: х = а,
N2D = 60 + 40•1 = 100 кН – растяжение.
г) Мысленно отбрасываем часть бруса справа от сечения 3, заменяя его действие продольным усилием N3. Никаких новых сил не появляется.
Записываем условие равновесия:
Р + qa – N3 = 0.
Находим усилие в 3-м сечении:
N3 = Р + qa
N3 = 60 + 40•1,
N3 = 100 кН – растяжение.
д) Проверка – сумма всех внешних сил равна нулю. R – реакция опоры.
P + qa – R = 0 => R = P + qa = 60 + 40•1 = 100 кН;
100 кН = 100 кН – верно.
е
)
Строим эпюру продольных усилий – N.
Штриховка должна быть перпендикулярна
оси бруса. Если N
> 0, значения откладываем вверх, если
N<
0 – вниз.
2
)
Построение эпюры нормальных напряжений
– σ.
3) Построение эпюры перемещений ∆ точек, лежащих на оси стержня.
a) Эпюру перемещений следует строить, начиная с защемленного конца. В точке E перемещение ∆E = 0.
б) На участке ED:
В точке D: ∆D = ∆E + ∆lED = 0,416 мм.
в) На участке DC:
N2 = 60 + 40x,
В точке D: x = 0, ∆lD = 0,
∆D = ∆lD + ∆lED = 0 + 0,416 = 0,416мм.
В точке C: x = a = 1 м,
∆C = ∆lC + ∆D = 0,416 + 0,333 = 0,749 мм.
г) На участке CB:
∆B = ∆lCB + ∆lC = 0,6 + 0,749 = 1,349 мм.
д) Строим эпюру перемещений точек, лежащих на оси стержня ∆:
4
)
Определим нормальные и касательные
напряжения на площадках элемента,
повернутого на угол 300
к оси стержня и взятого в точке,
расположенной на расстоянии a/2
от конца стержня.
а) Определим нормальные напряжения по формуле:
Из эпюры нормальных напряжений на расстоянии a/2 находим, что σ = 120 МПа.
б) Нормальное напряжение σn':
σn' = σ sin2 φ,
σn' = 120 sin2 300,
σn' = 120 · 0,52 = 30 МПа.
в) Определим касательные напряжения по формуле:
г) τ = τ'.
д) Изобразим элемент, находящийся под воздействием указанных напряжений.
