2.3. Порядок постановки пфэ

Для оценки точности эксперимента для каждой i- точки факторного про­странства (для каждого сочетания уровней факторов МП) проводят n опытов. В результате получают значения у_i1, y_i2, ..., у_in исследуемого параметра, для которых находят среднее значение

. (2.3)

При этом опыты в одной точке проводят не подряд, а обходят все точки в первой серии опытов, затем во второй, и так далее до n-й. Для уменьшения влияния внешней среды и неконтролируемых факторов внутри каждой серии точки факторного пространства обходят случайным образом – рандомизируют последовательность опытов. Рандомизацию опытов можно провести с помощью генератора случайных чисел.

2.4. Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)

Опыт считается воспроизводимым, если дисперсия выходного параметра у, однородна в каждой точке факторного пространства. Оценка s² дисперсии определяется для каждой точки факторного пространства по формуле:

. (2.4)

Если сравниваемое количество дисперсий больше двух, можно воспользоваться критерием Кохрена (Приложение В). Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одинаковое число повторных опытов. Для этого формулируют нулевую гипотезу Н0: s²y₁= s²y₂=…= s²y_n – дисперсии значений отклика в каждом опыте однородны.

Для этого подсчитывается дисперсия значений отклика для каждого из опытов эксперимента, а затем из всех дисперсий находится наибольшая , которая делится на сумму всех дисперсий:

, (2.5)

Если полученное значение дисперсионного отно­шения G_расч>G_табл(α;γ₁;γ₂) больше приведенного в таблице, это означает, что дисперсии значимо отличаются друг от друга, т. е. что они неоднородны. Здесь α — уровень значимости, γ₁ и γ₂ — степени свободы, при этом γ₁=m-1, γ₂=N.

2.5. Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения

Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии производится по методу наименьших квадратов, при этом минимизируется сумма квадратов отклонений между экспериментальными значениями исследуемого параметра и значениями, вычисленными для тех же точек факторного пространства по уравнению регрессии:

. (2.6)

Благодаря предварительной стандартизации масштаба факторов и ортогональности МП, расчет оценок коэффициентов регрессии в ПФЭ превращается в простую арифметическую процедуру.

2.6. Исследование свойств регрессионной модели

2.6.1. Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится независимо друг от друга на основании t –критерия Стьюдента (Приложение Б):

, (2.7)

где s_bj — оценка среднего квадратичного отклонения погрешности определения коэффициента.

Оценка дисперсии коэффициентов, найденных по экспериментальным данным вычисляется в соответствии с выражением

. (2.8)

Оценкой генеральной дисперсии воспроизводимости s²_воспр, характеризующая точность одного измерения, является средняя из всех построчных дисперсий

. (2.9)

При выбранном уровне статистической значимости  и при числе степеней свободы γ=N(m–1) находят табличное значение коэффициента t_табл. Найденное табличное значение сравнивается с расчетным значением коэффициента. Если выполняется неравенство t_табл > t_расч, то принимается нуль- гипотеза, т.е. считается, что найденный коэффициент b_j является статистически незначительным и его следует исключить из уравнения регрессии.

Оценка среднего квадратичного отклонения погрешности определения коэффициента s_bj при достаточном числе степеней свободы может быть определена и через остаточную дисперсию:

, j=0, n; Сjj является диагональным коэффициентом корреляционной матрицы факторов и равен , а , — значение отклика, вычисленное по построенному уравнению регрессии и называется теоретическим значением отклика при заданном наборе факторов.

2.6.2. Проверка адекватности регрессионной модели. Математическая модель должна достаточно верно качественно и количественно описывать свойства объекта исследования. Для проверки адекватности оценивают отклонение предсказанного уравнением регрессии значения выходного параметра от результатов эксперимента y_i. Для этого вычисляют дисперсию адекватности или остаточную дисперсию:

, (2.10)

где — число значимых коэффициентов модели, , причем коэффициент b₀ в расчет не берется.

Если s²_ост не превышает дисперсии опыта s²_y, то полученная ММ адекватно представляет результаты эксперимента, иначе — описание считается неадекватным объекту. Проверка гипотезы об адекватности проводится с помощью F-критерия Фишера (Приложение А).

. (2.11)

По уровню значимости α и степеням свободы γ₁=N- и γ₂=N(m-1) определяется критическое значение F(α,γ₁,γ₂) . Если , то уравнение регрессии считается адекватным.

В случае если , то и неравенство будет выполняться всегда.

Как правило, вначале проверяют адекватность линейной ММ. Если пред­положение об адекватности подтверждается, то в качестве окончательной ММ выбирают линейную; если отклоняется — добавляют эффект взаимодействия с наибольшим коэффициентом и вновь проверяют гипотезу, и так до тех пор, пока существуют степени свободы.

Если в результате модель все же оказалась неадекватной, это говорит о том, что тип математической модели выбран неудачно и при данном шумовом уровне и классе точности измерительных приборов ММ должна быть уточнена. Для этого следует использовать более сложные модели, например, квадратичные (ортогональное и рототабельное композиционное планирование).