2.7. Переход к физическим переменным

Для записи ММ в реальных физических величинах производят обратный переход от стандартизированного масштаба к натуральному. Это можно сде­лать с помощью соотношения (2.2). После чего записывают окончательный вид модели.

3. Индивидуальные задания для выполнения лабораторной работы

Задания выполняются в соответствии с индивидуальными вариантами, приведенными в Приложении Г. Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы.

Вариант задания представляет собой результаты ПФЭ типа 2². В ходе эксперимента в каждой точке факторного пространства проводились три параллельных опыта. Порядок проведения опытов соответствует матрице эксперимента, представленной в таблице 2.2.

В ходе выполнения индивидуального задания требуется по предложенным экспериментальным данным построить регрессионные линейные модели и провести регрессионный анализ построенных моделей моделей. Для этого необходимо:

- построить матрицу планирования экспериментов;

- проверить воспроизводимость опытов;

- рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения;

- проверить адекватность полученной модели;

- провести анализ результатов и сделать выводы.

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА О ВЫПОЛНЕНИИ лабораторной работы

Отчет о выполненной работе должен содержать:

1. Цель работы.

2. Постановку задачи.

3. Матрицу планирования эксперимента.

4. Результаты проверки воспроизводимости опытов.

5. Результаты расчетов коэффициентов регрессионных моделей и проверки из статистической значимости.

6. Результаты проверки адекватности полученной модели исходным экспериментальным данным.

7. Выводы и предложения о ходе дальнейших исследований, составленные на основании анализа регрессионных моделей.

5. Пример выполнения задания

Требуется исследовать влияние технологических факторов (номиналов резисторов R1 и R2) в интегральной транзисторно-транзисторной логической схеме на значение средней потребляемой мощности P=f(R1, R2). Номинальные значения факторов: R1=7кОм, R2=3кОм, область изменения факторов соответственно [5;9] и [2;4] кОм. Функцию f(R1, R2) будем искать в виде линейной модели (2.1).

Составим ПФЭ для четырех серий опытов при интервалах варьирования для R1 — 0,4кОм, R2 — 0,2кОм. Для стандартизации масштабов факторов вычислим значения нижнего и верхнего уровня согласно соотношению (2.2) и сведем результаты в таблицу 5.1.

Таблица 5.1 — Условия проведения ПФЭ.

Характеристика плана	Стандартный масштаб xi	Натуральный масштаб
		x1=R1, кОм	x2=R2, кОм
Нулевой уровень	0	7	3
Верхний уровень	+1	7,2	3,1
Нижний уровень	-1	6,8	2,9

Составим матрицу эксперимента с учетом рандомизации опытов. В таблице 5.2 представлены результаты параллельных опытов и вычислены среднее значение отклика и дисперсия для каждой точки факторного пространства соответственно соотношениям (2.3) и (2.4).

Проведем анализ воспроизводимости опыта на основе критерия Кохрена в соответствии с (2.5): G_расч=0,485, табличное значение критерия определяем при уровне значимости α=0,05 и степенях свободы γ₁=m-1=4, γ₂=N=4, получаем G_табл(α;γ₁;γ₂)=0,630. Так как G_расч< G_табл, опыт является воспроизводимым, и его результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессионного уравнения.

Таблица 5.2 — Результаты эксперимента.

№	x0	x1	x2	y1	y2	y3	y4	y5	ycp	s2yi
1	1	-1	-1	6,54	6,29	6,51	6,42	6,56	6,46	0,02
2	1	1	-1	6,57	6,37	6,33	6,21	6,10	6,32	0,04
3	1	-1	1	6,28	6,37	6,37	6,15	6,46	6,33	0,02
4	1	1	1	6,21	6,00	6,01	6,07	6,13	6,08	0,01

В соответствии с расчетным соотношением (2.6) можно определить коэффициенты регрессионной модели.

Для анализа значимости коэффициентов необходимо вычислить погрешности определения коэффициентов модели и расчетное значение t – критерия Стьюдента на основании соотношений (2.7) — (2.9). Результаты расчетов в таблице 5.3.

Таблица 5.3 — Результаты анализа значимости коэффициентов.

	b0	b1	b2
коэффициенты регрессионной модели	6,296	-0,097	-0,093
погрешности определения коэффициентов	0,011	0,020	0,020
tрасч	188,93	2,92	2,78
вывод	зн	зн	зн

Для принятия решения о значимости коэффициентов уравнения регрессии расчетное значение критерия Стьюдента t_расч сравнивается с табличным значением. Табличное значений критерия Стьюдента t_табл выбирается при уровне значимости α=0,05 и степени свободы γ=N(m-1)=16, t_табл=2,12. Неравенство t_расч >t_табл выполняется для всех коэффициентов ММ, поэтому они все считаются значимыми и включаются в модель.

Проверка адекватности построенной модели выполняется в соответствии с критерием Фишера (2.11). Согласно выражению (2.9) дисперсия воспроизводимости равна s²_воспр=0,022, остаточная дисперсия в соответствии с (2.10) составляет s²_ост= 0,036, Расчетное значение критерия Фишера (2.11) равно F_расч=1,63. Табличное значений критерия Фишера F_табл выбирается при уровне значимости α=0,05 и степенях свободы и , F_табл=4,49. Неравенство F_расч< F_табл выполняется, поэтому построенная регрессионная модель считается адекватной экспериментальным данным.

Перейдем от кодированных значений факторов к натуральному исчислению в соответствии с выражением (2.2) и условиями проведения эксперимента в таблице 2.6:

P=12,484-0,487R1-0,925R2. (2.12)

Таким образом, выражение (2.12) представляет характер изменения средней потребляемой мощности P интегральной транзисторно-транзисторной логической схемы в области изменения номиналов резисторов 6,8≤R1≤7,2 кОм, 2,9≤R2≤3,1 кОм.

5. Контрольные вопросы

1. В чем сущность планирования эксперимента? Поясните разницу между ак­тивным и пассивным экспериментом.

2. Какие задачи решает теория планирования эксперимента?

3. Что такое факторы и какие требования к ним предъявляются? Как выбрать уровни варьирования факторов?

4. Какие требования предъявляются к факторам?

5. В чем сущность ПФЭ и какие ММ он позволяет исследовать?

6. Какую область описывает уравнение регрессии, полученное с помощью ПФЭ и в каких границах его можно использовать?

7. В чем сущность и цели стандартизации масштаба факторов?

8. Как составляется и какими свойствами обладает МП ПФЭ?

9. Каков порядок постановки опытов при ПФЭ?

10. Как проверить воспроизводимость опытов?

11. Как рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения?

12. Как проверить статистическую значимость оценок коэффициентов регрессии?

13. Как проверить адекватность полученной ММ?

14. Как перейти к исходным физическим переменным?

Библиографический список

1. Космин В.В. Основы научных исследований: Учебное пособие для магистров / В.В. Космин. — М.: РИОР: ИНФРА-М, 2013. — 213 с.

2. Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных. / Н.И. Сидняев — М.: Юрайт-Издат, ООО, 2012. — 399с.

Приложение А

Распределение Фишера.

Значения F–критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости

ν1 ν2	1	2	3	4	5	6	12	24	
1	164.4	199.5	215.7	224.6	230.2	234.0	244.9	249.0	254.3
2	18.5	19.2	19.2	19.3	19.3	19.3	19.4	19.4	19.5
3	10.1	9.6	9.3	9.1	9.0	8.9	8.7	8.6	8.5
4	7.7	6.9	6.6	6.4	6.3	6.2	5.9	5.8	5.6
5	6.6	5.8	5.4	5.2	5.1	5.0	4.7	4.5	4.4
6	6.0	5.1	4.8	4.5	4.4	4.3	4.0	3.8	3.7
7	5.5	4.7	4.4	4.1	4.0	3.9	3.6	3.4	3.2
8	5.3	4.5	4.1	3.8	3.7	3.6	3.3	3.1	2.9
9	5.1	4.3	3.9	3.6	3.5	3.4	3.1	2.9	2.7
10	5.0	4.1	3.7	3.5	3.3	3.2	2.9	2.7	2.5
11	4.8	4.0	3.6	3.4	3.2	3.1	2.8	2.6	2.4
12	4.8	3.9	3.5	3.3	3.1	3.0	2.7	2.5	2.3
13	4.7	3.8	3.4	3.2	3.0	2.9	2.6	2.4	2.2
14	4.6	3.7	3.3	3.1	3.0	2.9	2.5	2.3	2.1
15	4.5	3.7	3.3	3.1	2.9	2.8	2.5	2.3	2.1
16	4.5	3.6	3.2	3.0	2.9	2.7	2.4	2.2	2.0
17	4.5	3.6	3.2	3.0	2.8	2.7	2.4	2.2	2.0
18	4.4	3.6	3.2	2.9	2.8	2.7	2.3	2.1	1.9
19	4.4	3.5	3.1	2.9	2.7	2.6	2.3	2.1	1.9
20	4.4	3.5	3.1	2.9	2.7	2.6	2.3	2.1	1.9
22	4.3	3.4	3.1	2.8	2.7	2.6	2.2	2.0	1.8
24	4.3	3.4	3.0	2.8	2.6	2.5	2.2	2.0	1.7
26	4.2	3.4	3.0	2.7	2.6	2.5	2.2	2.0	1.7
28	4.2	3.3	3.0	2.7	2.6	2.4	2.1	1.9	1.7
30	4.2	3.3	2.9	2.7	2.5	2.4	2.1	1.9	1.6
40	4.1	3.2	2.9	2.6	2.5	2.3	2.0	1.8	1.5
60	4.0	3.2	2.8	2.5	2.4	2.3	1.9	1.7	1.4
120	3.9	3.1	2.7	2.5	2.3	2.2	1.8	1.6	1.3
	3.8	3.0	2.6	2.4	2.2	2.1	1.8	1.5	1.0

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Распределение Стьюдента.

Значения t–критерия Стьюдента при 5%-ном уровне значимости

Число степеней свободы	Значения t-критерия
1	12.71
2	4.303
3	3.182
4	2.776
5	2.571
6	2.447
7	2.365
8	2.306
9	2.262
10	2.228
11	2.201
12	2.179
13	2.160
14	2.145
15	2.131
16	2.120
17	2.110
18	2.101
19	2.093
20	2.086
21	2.080
22	2.074
23	2.069
24	2.064
25	2.060
26	2.056
27	2.052
28	2.048
29	2.045
30	2.042
	1.960

Приложение В

G-распределение Кохрена

(значение G*100 в зависимости от числа степени свободы γ₁, γ₂) и  = 0.05

γ2 γ1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	16	36	144	
2	999	975	939	906	877	853	833	816	801	788	734	660	581	500
3	967	871	798	746	707	677	653	633	617	603	547	475	403	333
4	907	768	684	630	589	560	536	518	502	488	437	372	309	250
5	841	684	598	544	506	478	456	439	424	412	365	307	251	200
6	781	616	532	480	445	418	398	382	368	357	314	261	212	167
7	727	561	480	431	397	373	354	339	326	315	276	228	183	143
8	680	516	438	391	360	336	319	304	293	283	246	202	162	125
9	639	478	403	358	329	307	290	277	266	257	223	182	145	111
10	602	445	373	331	303	282	267	254	244	235	203	166	131	100
12	541	392	326	288	262	244	230	219	210	202	174	140	100	083
15	471	335	276	242	216	203	191	182	174	167	143	114	089	067
20	389	271	221	192	174	160	150	142	136	130	111	089	068	050
24	343	235	191	166	149	137	129	122	116	111	094	074	057	042
30	293	198	159	138	124	114	106	100	096	092	077	060	046	033
40	237	158	126	108	097	089	083	078	075	071	060	046	035	025
60	174	113	090	077	068	062	058	055	052	050	041	032	023	017
120	900	063	050	042	037	034	031	029	028	027	022	017	012	008

Приложение Г

1	25,40	26,63	24,66		2	28,21	29,58	27,39		3	5,04	5,28	4,89
	59,76	59,54	57,72			66,37	66,13	64,11			11,85	11,81	11,45
	47,40	47,23	46,17			52,64	52,45	51,28			9,40	9,37	9,16
	82,07	78,17	81,11			91,15	86,82	90,09			16,28	15,50	16,09

4	2,52	2,64	2,45		5	2,29	2,40	2,23		6	29,16	31,62	33,66
	5,93	5,90	5,72			5,39	5,37	5,21			72,89	71,16	75,80
	4,70	4,68	4,58			4,28	4,26	4,17			59,22	59,73	57,64
	8,14	7,75	8,04			7,41	7,05	7,32			95,08	99,11	101,75

7	19,41	21,05	22,41		8	9,71	10,52	11,20		9	4,85	5,26	5,60
	48,53	47,37	50,47			24,26	23,69	25,23			12,13	11,84	12,62
	39,42	39,76	38,37			19,71	19,88	19,19			9,86	9,94	9,59
	63,30	65,98	67,74			31,65	32,99	33,87			15,83	16,49	16,93
10	4,42	4,79	5,10		11	5,33	5,70	6,01		12	3,46	3,70	3,91
	11,04	10,78	11,48			11,95	11,69	12,39			7,77	7,60	8,05
	8,97	9,05	8,73			9,88	9,96	9,64			6,42	6,47	6,27
	14,40	15,01	15,41			15,31	15,92	16,32			9,95	10,35	10,61

13	14,99	15,86	14,51		14	8,82	9,33	8,54		15	8,2	8,7	7,9
	34,98	34,13	33,61			20,58	20,08	19,77			19,9	19,4	19,1
	26,02	26,13	26,11			15,31	15,37	15,36			14,7	14,7	14,7
	46,21	46,42	48,43			27,18	27,31	28,49			26,5	26,7	27,8
16	7,4	7,9	7,2		17	4,83	5,13	4,66		18	2,85	3,01	2,75
	18,1	17,7	17,4			11,79	11,49	11,31			6,64	6,48	6,38
	13,3	13,4	13,4			8,67	8,71	8,70			4,94	4,96	4,95
	24,1	24,3	25,3			15,69	15,77	16,47			8,77	8,81	9,19

19	7,05	7,64	8,14		20	27,94	29,58	30,94		21	11,51	13,15	14,51
	17,62	17,20	18,33			57,06	55,90	58,99			40,63	39,47	42,57
	14,32	14,44	13,94			47,95	48,29	46,90			31,52	31,86	30,48
	22,99	23,96	24,60			71,83	74,51	76,27			55,40	58,08	59,84
22	16,50	17,30	16,02		23	21,61	23,15	20,69		24	2,19	2,30	2,13
	38,82	38,69	37,50			64,54	64,27	62,00			5,15	5,14	4,98
	30,80	30,69	30,00			49,10	48,88	47,57			4,09	4,07	3,98
	53,32	50,79	52,70			92,42	87,54	91,22			7,08	6,74	7,00

Заказ №______от «_____»___________ 2016______. Тираж__________экз.

СевГУ