3.3. Основное уравнение гидростатики

Уравнение (3.7) удобно выразить через полный дифференциал давления

(3.9)

Для этого умножим первое уравнение в (3.7) на dx, второе на dy, третье на dz и полученные выражения сложим. Получим

=0, (3.10)

или с учетом (3.9)

(3.11)

Уравнение (3.11) называется основным уравнением гидростатики.

Здесь оно записано в дифференциальной форме. Для случая, когда из объемных сил на жидкость действует только сила тяжести, а сама жидкость несжимаема ( = const), уравнение (3.11) легко записать в интегральной форме. Действительно, совместив начало координат со свободной поверхностью жидкости и направив ось Oz вертикально вниз, будем иметь Х=Y=0; Z = g – ускорение свободного падения; тогда из (3.11) получим

(3.12)

или после интегрирования

(3.13)

гдеС – постоянная интегрирования, которую определим из условий: при z=0, p=p_o. Тогда из (3.13) и, следовательно,

(3.14)

Выражение (3.14) является основным уравнением гидростатики для несжимаемой жидкости, записанным в интегральной форме

Давление жидкости в условиях равновесия, т.е. определяемое по (3.11), (3.12), (3.14), называется гидростатическим, или просто статическим давлением.

3.4. Барометрические формулы

Выражения (3.12) и (3.14) имеют широкое практическое применение, поскольку позволяют определить давление на заданном уровне в жидкости (например, атмосферное давление на высоте z или уровень (высоту) в жидкости, где имеет место давление р). Полученные для этой цели формулы носят название барометрических формул.

В качестве примера, рассмотрим ствол шахты (рис.3.3).

Расположим начало координат на поверхности в т.О так, чтобы ось Оz была направлена вертикально вниз. Определим давление в стволе на глубине z=H в предположении, что воздух в стволе несжимаем (=const.), а давление на поверхности (при z=0) равно р_о. Как видно, условия данной задачи полностью совпадают с условиями получения формулы (3.14). Поэтому, подставляя в нее z=H, получим искомое давление р_н

(3.15)

Из (3.15) следует, что атмосферное давление в шахте неоднозначно: каждой глубине Н соответствует свое значение атмосферного давления в горных выработках.

Формулой (3.15) можно пользоваться и при небольшом изменении плотности воздуха с глубиной: тогда вместов нее следует подставить среднее значение плотности воздуха _ср на участке

. (3.16)

Для случаев, когда плотность воздуха существенно непостоянна, следует учитывать зависимость ее от давления или от давления и температуры гдеТ – температура воздуха.

3.5. Закон Паскаля

В разделе 2, п.2.9 была дана следующая формулировка закона Паскаля: давление в одной и той же точке жидкости передается одинаково во всех направлениях. Используя основное уравнение гидростатики, можно дать еще одну формулировку этого закона. Действительно, из выражения (3.14) для несжимаемой жидкости непосредственно следует, что изменение давления р_о на граничной поверхности на какую-либо величину р вызывает такое же изменение давления в любой точке жидкой среды. Для р_о имеем выражение (3.14):

(3.21)

для

. (3.22)

Приращение давления р будет

(3.23)

т.е. насколько увеличилось давление на граничной поверхности, настолько же увеличилось давление и в жидкой среде. Следовательно, имеем следующий закон, являющийся еще одной формулировкой закона Паскаля: изменение давления в какой либо точке несжимаемой жидкости на некоторую величину вызывает изменение давления на ту же величину и во всех остальных точках жидкости.