Практическое занятие № 12

Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Цель работы: сформировать умение применять производную для исследования функции и построения графика функции.

Задачи: 1. Развивать коммуникативные компетенции (как способности работать с методическими рекомендациями);

2. Развивать предметные компетенции (вычисление производной, исследование на монотонность и точки экстремума, исследование на выпуклость, вогнутость и точки перегиба);

3.Формировать ключевые компетенции (информационная: систематизировать, анализировать, использовать и обрабатывать полученную информацию).

Оборудование: методические рекомендации, письменные принадлежности.

Теоретическое обоснование:

Монотонность: убывание и возрастание.

Определение монотонности функции :

возрастания; возрастает в интервале , если ,

убывание; убывает в интервале , если ,

Т еорема. (Достаточные условия монотонности)

Пусть функция дифференцируема в интервале .

1. Если в каждой точке интервала , то функция возрастает в интервале .

2. Если в каждой точке интервала , то функция убывает в интервале .

Вывод: участки возрастания функции находятся из решения неравенства , а участки убывания – из неравенства .

Установленная связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически ясна, если вспомнить, что производная функции в данной точке есть угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею идет ли верх (возрастает) или вниз (убывает) и сама кривая.

Экстремумы: максимумы и минимумы.

Особый интерес представляют точки, в которых меняется характер монотонности. Это точки максимума и минимума функции. Дадим необходимые определения.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство (см. рис. 1).

Рис. 1. Рис. 2.

Т очка называется точкой минимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство (см. рис.2).

Замечание функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Понятие экстремума связано с определенной окрестностью данной точки, т.е. носит локальный характер. Функция может иметь экстремум лишь во внутренней точке области определения.

Из определения следует, что точка - точка максимума (минимума) функции тогда и только тогда, когда для всех из некоторой окрестности точки .

Теорема : (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке экстремум и дифференцируема в этой точке, то .

Точки, в которых , называются стационарными точками функции, в них приращается изменение функции, а касательная к графику в стационарной точке горизонтальна (параллельна оси ) (см. рис. 3и 4).

Р ис. 3. Рис. 4.

Точки, в которых производная не существует или равна нулю (стационарные точки), называются критическими точками функции.

Итак, точки возможного экстремума непрерывной функции следует искать среди ее критических точек.

Как показывает пример функции , точка является ее стационарной точкой, т.к. и , но экстремума в точке функция не имеет (см. рис. 4).

Теорема : (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума; с минуса на плюс, то - точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум:

1. найти критические точки функции ;

2. Выбрать из них те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4. выбрать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.

Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.

Пусть функция дифференцируема в интервале , т.е. график функции имеет касательную в каждой своей точке.

Функция называется выпуклой в интервале , если ее график расположен под любой ее касательной в этом интервале (см. рис.5.).

Функция называется вогнутой в интервале , если ее график расположен над любой ее касательной в этом интервале (см. рис.6.).

Р ис.5. Рис.6.

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции находим с помощью второй производной функции.

Теорема. Пусть функция имеет в интервале вторую производную Тогда

1. если в интервале , то функция вогнута в этом интервале;

2. если в интервале , то функция выгнута в этом интервале.

Особый интерес представляют точки, в которых меняется характер выпуклости функции.

Т

очкой перегиба графика дифференцируемой функции называется точка, разделяющая интервалы выпуклости и интервалы вогнутости функции.

В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной, проведенной в точке перегиба на другую (см. рис. 7 и 8).

Р ис. 7. Рис. 8

Из вышесказанного следует, что точки перегиба – это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Теорема. (необходимое условие точки перегиба).

Пусть - точка перегиба графика дифференцируемой функции . Если в точке существует вторая производная функции, то обязательно .

Вывод: Возможные точки перегиба графика дифференцируемой функции следует искать среди ее критических точек высокого рода, т.е. среди точек, в которых вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема. (достаточное условие точки перегиба).

Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и имеет в точке первую производную . Если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то - точка перегиба.

И

зобразим это в виде схемы:

Указания по выполнению практического занятия:

1. Исследуйте функцию y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e по следующей схеме:

1. область определения;

2. четность – нечетность:

- найдите f(-x), подставив –x в функцию вместо x;

- сделайте вывод о функции;

- сделайте вывод о графике функции;

3. точки пересечения с осями координат:

- с осью Оx: решите уравнение y = 0;

- с осью Оy: подставьте в функцию x = 0 и найдите значение y;

- запишите получившиеся точки;

4. возрастание, убывание и точки экстремума:

- найдите производную функции;

- решите уравнение y´ = 0;

- отметьте на числовой оси области определения функции, найденные стационарные точки и отметьте интервалы;

- для каждого промежутка найдите знак производной (любое число из промежутка подставить в производную и вычислить);

- сделать вывод о возрастании и убывании на каждом промежутке;

- сделать вывод о точках максимума и минимума;

- найти значение функции в точках экстремума;

5. выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

- найдите вторую производную функции;

- решите уравнение y´´ = 0;

- отметьте на числовой оси области определения функции, найденные точки и отметьте интервалы;

- для каждого промежутка найдите знак второй производной;

- сделать вывод о выпуклости и вогнутости на каждом промежутке;

- сделать вывод о точках перегиба;

- найти значение функции в точках перегиба.

2) По результатам исследования постройте график функции:

- отметьте на координатной плоскости точки минимума и максимума, а также точки пересечения графика с осями;

- при необходимости найдите дополнительные точки;

- соедините получившиеся точки плавной линией.

	1 16	2 17	3 18	4 19	5 20	6 21	7 22	8 23	9 24	10 25	11 26	12 27	13 28	14 29	15 30
a	1	0	0	1	0	1	0	-1	0	1	0	0	-1/4	0	1/4
b	0	1/3	-1	0	-1	0	1	0	1	0	-1	-1/3	0	1	0
c	-2	-2	-1	-2	3	-2	-1	2	-3	-8	0	2	2	0	-2
d	0	0	1	0	0	0	-1	0	0	0	3	0	0	-3	0
e	-8	0	0	0	0	-3	0	0	0	-9	0	0	0	0	0