Г еометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением , то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ( ).
Уравнение касательной к кривой в точке х0 (прямая М0Т) имеет вид:
(2)
а уравнение нормали (М0N):
(3)
Правила дифференцирования
№ пп |
U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции |
№ пп |
U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции |
I |
|
VI |
Производная
сложной функции
|
II |
|
VII |
Функция
задана параметричес-кими уравнениями
|
III |
|
||
IV |
|
VIII |
Если
и
|
V |
|
—
взаимно обратные функции,
то
Формулы дифференцирования основных элементарных функций
№ пп |
с=const, х — независимая переменная, u = u(x) — дифференцируемая функция |
||
1 |
С’= 0 |
9 |
|
2 |
x’= 1 |
10 |
|
3 |
|
11 |
|
4 |
|
12 |
|
5 |
|
13 |
|
6 |
|
14 |
|
7 |
|
15 |
|
8 |
|
|
|
Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Производная
второго порядка
или
Производная
третьего порядка
или
и т. д.
Пример 1. Найти производные функций:
а)
б)
в)
г)
Решение.
а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:
б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:
в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v, т. е. v=1; используя формулу (3), получим:
г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:
Пример
2.
Составить уравнение касательной и
нормали к кривой
в
точке с абсциссой х0=2.
Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):
1)
2)
Подставим
в уравнения и получим:
или
— уравнение касательной.
или
—
уравнение нормали.
Пример
3.
Найти производную
,
если функция задана парамет-рически:
Используем
правило VII
Пример 4. Найти дифференциалы функций:
а)
б)
в)
Для
дифференциала функции
справедлива формула
т. е. дифференциал функции равен
произведению производной от функции
на дифференциал независимой переменной.
Решение.
а)
б)
в)
Пример
5.
Найти производную второго порядка
функции
Решение.
поэтому найдём производную первого
порядка,
а затем второго.
Пример
6.
Найти производную функции
логарифмическим дифференцированием
Правило
Лопиталя.
Предел отношения двух б.м.
или б.б.
функций равен пределу отношения их
производных (конечному или бесконечному),
если последний существует:
(5)
Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).
Пример 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:
а)
б)
Решение.
а)
Подставляя в функцию вместо х
предельное значение
,
определим предел числителя и знаменателя.
т.
к.
Аналогично:
Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:
б)
Указания по выполнению практического занятия:
Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Задание
3.
Найти производную
функции y=у(x),
заданной параметрически:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Задание 4. Найти дифференциалы функций:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Задание 5. Найти производную второго порядка функции y=f(x).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Задание 6. Найти пределы, используя правило Лопиталя.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
