Методические указания по выполнению контрольной работы № 2.

Решение задач 1 – 6 требует знания физических процессов и основных характеристик переменного тока. Необходимо твёрдо знать формулы и уметь применять их для расчета цепей с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности, активного сопротивления и ёмкости.

Основное применение в электротехнике и технике связи имеют переменные токи и напряжения, изменяющиеся по закону синуса. По сравнению с процессами в цепях постоянного тока, процессы, протекающие в цепях переменного тока, являются более сложными.

Для расчета цепи с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности необходимо знать следующее:

Индуктивное сопротивление: X_L = 2πfL = L (Ом)

Полное сопротивление: Z =

Активная (потребляемая) мощность: Р = I²R (Вт)

Реактивная мощность: Q_L = I²X_L (Вар)

Для расчета цепи с последовательным соединением активного сопротивления и ёмкости необходимо знать:

Ёмкостное сопротивление: Xc = 1/ (2πfC) = 1/ C, Ом

Полное сопротивление: Z = , Ом

Реактивная мощность: Qc = I²Xc, Ом

В цепях R,L и R,C справедлив закон Ома: I = U / Z, А

Полная мощность определяется по формуле: S = UI = I²Z, ВА

Коэффициент мощности: cos  = P /S = R / Z.

Пример 1. В цепь переменного тока с частотой  =110³ с^-1 включена катушка индуктивности с активным сопротивлением R = 6 Ом и индуктивностью L= 8 мГн.

Напряжение, приложенное к цепи: U = 20 В. Определить индуктивное X_L и полное Z сопротивления цепи, ток I, активную Р, реактивную Q_L и полную S мощности, коэффициент мощности cos . Начертить схему цепи. Построить векторную диаграмму тока и напряжений.

Дано: R = 6 Ом; L = 8 мГн; U = 20 В;  = 10³ с^-1.

Определить: X_L; Z; I; P; Q_L; S; cos .

Решение.

1. Определим индуктивное сопротивление: X_L = L = 10³ 810^-3 = 8 Ом; 2. Определим полное сопротивление цепи: Z = =

3. Вычислим ток по закону Ома: I = U / Z = 20 / 10 = 2 A;

4. Вычислим активную, реактивную и полную мощности:

P = I²R = 2² 6 = 24 Вт; Q_L = I²X_L = 2² 8 = 32 ВАр; S = I^2Z = 2²10 = 40 ВА;

5. Определим коэффициент мощности: cos  = R / Z = 6 / 10 = 0,6.

6. Векторная диаграмма. Для её построения вычислим напряжения на всех элементах схемы: на активном сопротивлении U_а = IR = 26 = 12 В;

на реактивном сопротивлении U_L = IX_L= 28 = 16 В

Задаем масштабы по току и напряжению: М_I = 0,5 А/см ; М_U = 2 В/см.

Рассчитываем длины векторов тока и напряжений согласно выбранного масштаба:

ℓ _Ua = U_a/M_u = 12/2 = 6 см; ℓ_UL = U_L/M_u = 16 / 2 = 8 см;

ℓ_U = U/M_u = 20/2 = 10 см; ℓ_I = I/M_I = 2 / 0,5 = 4 см.

За основной (базисный) вектор принимаем вектор токаI (последовательная цепь), который откладываем горизонтально в выбранном масштабе.

Вектор напряжения на активном сопротивлении U_а совпадает по фазе с вектором тока, из конца вектораU_а строим вектор реактивного напряженияU_L в сторону опережения вектора тока на 90⁰. Замыкающий векторU равен геометрической сумме векторов U_а иU_L, т.е. U =U_а +U_L.

Вектор приложенного напряженияU опережает вектор токаI на угол =53⁰ и длина его, если измерить, равна 10 см, что совпадает с расчетом.

φ

U

I

U_A U_L

В задачах 7 – 12 рассматривается расчет цепи переменного тока, состоящей из двух параллельных ветвей, соответственно методом проводимостей или методом составляющих токов.

Пример 2. В цепь переменного тока включены параллельно конденсатор и катушка индуктивности. Напряжение цепи U=120 В. Активное сопротивление катушки R_к =8 Ом и индуктивное Х_L=6 Ом, ёмкостное сопротивление конденсатора Х_с = 40 Ом.

Определить методом проводимостей токи в ветвях I₁, I₂, в неразветвленной части цепи I, активную Р, реактивную Q и полную S мощности цепи; угол  сдвига фаз между током и напряжением цепи. Начертить векторную диаграмму напряжения и токов в масштабе: М_I = 2,4 А/см.

Дано: U=120 В; R_к=8 Ом; Х_L =6 Ом; Х_с=40 Ом; М_I =2,4 А/см

Определить: I₁; I₂; I; ; P; Q; S.

Решение.

1. Полное сопротивление ветвей:

Z₁ = X_c = 40 Ом; Z₂ = =

2. Проводимости 1-ой ветви:

- активная: g₁ = R₁ / Z₁² = 0 / 40 = 0 См;

- реактивная: b₁ = b_c = X_c / Z₁² = 1/X_c = 1/40 = 0,025 См;

- полная: y₁ = 1/Z₁ = 1/40 = 0,025 Ом;

3. Проводимости 2–ой ветви:

- активная: g₂ = R₂/Z₂² = 8/10² = 0,08 См;

- реактивная: b₂ = b_L = X_L /Z₂² = 6/10² = 0,06 См;

- полная: y₂ = 1/Z₂ = 1/10 = 0,1 См;

4. Проводимости всей цепи:

- активная: g = g₁ + g₂ = 0 + 0,08 = 0,08 См;

- реактивная: b = b₁ + b₂ = - b_c +b_L = - 0,025 + 0,06 = 0,035 См;

- полная: y = См;

5. Токи ветвей:

I₁ = Uy₁ = 1200,025 = 3 A; I₂ = Uy₂ = 120 0,1 = 12 A.

6. Ток в неразветвленной части цепи: I = Ug = 120 0,0873 = 10,48 A.

7. Угол сдвига фаз между током и напряжением:

cos  = g /y = 0,08 / 0,0873 = 0,915;  = arc cos 0,915 = 24^o, т.к. индуктивная проводимость b_L > b_C – ёмкостной проводимости, то напряжение опережает ток на угол  = 24^о.

8. Мощности цепи:

- активная: P = U²g = 120² 0,08 = 1152 Вт ;

- реактивная: Q = U² b = 120²0,085 = 1224 Вар ;

- полная: S = U²y = 120² 0,0873 = 1257,12 ВА ;

9. Векторную диаграмму проще строить по составляющим токов ветвей. Определим их:

Ia₁ = Ug₁ = 1200 = 0 ; Ip₁ = Ic = U b₁ = 120 0,025 = 3 A

Ia₂ = Ug₂ = 1200,08 = 9,6 A; Ip₂ = I_L2 = Ub₂ = 120 0,06 = 7,2 A.

Длины векторов токов в масштабе М_I = 2,4 А/см.

ℓ_Ic = Ic/M_I =3/2,4=1,25 см; ℓ_Ia2 =I_a2/M_I =9,6/2,4=4 см; ℓ_L2 = I_L2/M_I =7,2/2,4=3 см.

При построении векторной диаграммы за основной принимаем вектор напряжения, а векторы токов располагаем около него под соответствующими углами сдвига фаз: векторы активных токов совпадают с вектором напряжения; ёмкостных – опережают на 90^о; индуктивных – отстают на 90^о. Общий ток равен геометрической сумме токов ветвей: I = I₁ +I₂.

I₁₌ I_C

I I₁ I₂ R I_a2

U

U C φ

L

I₂ I I₁₌ I_C

I_L2

Пример 3. Катушка с активным сопротивлением R₁=8 Ом и индуктивным X_L1=6 Ом соединена параллельно с конденсатором, ёмкостное сопротивление которого равно X_C2=20 Ом. К зажимам цепи приложено напряжение U=60 В.

Определить методом разложения токов на активные и реактивные составляющие токи в ветвях и в неразветвленной части цепи, активные и реактивные мощности ветвей и во всей цепи, полную мощность цепи, углы сдвига фаз между током и напряжением в каждой ветви и во всей цепи. Начертить в масштабе векторную диаграмму напряжения и токов цепи.

Дано: R₁=8 Ом; X_L1=6 Ом; X_C2=20 Ом; U=60 B.

Определить: I_a1-? I_p1-? I _p2-? I-? Р-? Q-? S-? ₁-? ₂-? -?

Решение.

1. Токи в каждой ветви определяем по закону Ома: I₁ = U / Z₁; I₂ = U / Z₂, где

Z₁ = = Z₂= X_C2 = 20 Ом - полные сопротивления ветвей.

Тогда: I₁ = 60/10 = 6 A; I₂ = 60/20 = 3A.

2. Углы сдвига фаз в ветвях находим по синусам углов во избежание потери знака угла: sin ₁=X_L1/Z₁=6/10 =0,6; ₁=36^o50, т.е. напряжение опережает ток, т.к. ₁>0; sin ₂ = -X_C2 /Z₂ = -20/20 = -1; ₂ = - 90^o, т.е. напряжение отстает от тока, т.к. ₂<0.

По таблицам Брадиса находим: сos ₁= cos36^o50= 0,8; cos ₂= cos (-90^o) =0.

3. Активные и реактивные составляющие токов ветвей:

I_R1 = I_a1= I₁ cos ₁= 6 0,8 = 4,8A; I_L1 = I_p1 = I₁ sin ₁ = 6 0,6 = 3,6 A;

I_R2 = I_a2 = I₂ cos ₂ = 30 = 0 A; I_C2 = I_p2 = I₂ sin ₂ = 3(-1) = -3A.

4. Ток в неразветвленной части цепи:

I = ₌ =4.83A

5. Коэффициент мощности всей цепи:

cos  = (I_a1 + I_a2) / I = 4,8 / 4,83 = 0,992.

6. Активные и реактивные мощности ветвей и всей цепи:

P₁ = I₁²R₁ = 6²8 = 288 Вт; P₂ = 0 Вт; P = P₁ + P₂ = 288 Вт;

Q₁ = Q_L = I₁²X_L1 = 6²6 = 216 Вар; Q₂ = Q_C = I₂²(-X_C2) = 3²(-20) = - 180 Вар,

реактивная мощность ветви с ёмкостью Q₂ – отрицательна, т.к. угол ₂<0.

Q = Q₁ + Q₂ = 216 – 180 = 36 Вар.

7. Полная мощность цепи S = = 296 BA.

8. Ток в неразветвленной части цепи можно определить и без разложения токов ветвей на составляющие: I = S / U = 296 /60 = 4,83 A.

9. Для построения векторной диаграммы задаем масштабы по току и по напряжению:

М_I = 1 А/см ; М_U = 10 В/см.

При построении векторной диаграммы для параллельной цепи за исходный принимается вектор напряжения.

Активная составляющая тока I _R1 совпадают по фазе с напряжением и откладываются в масштабе параллельно вектору напряжения.

Вектор токаI_L1 является индуктивным, т.е. отстает от вектора напряжения на угол 90^о (откладывается вниз).

Вектор токаI_С2 имеет ёмкостной характер и поэтому опережает вектор напряжения на угол 90^о (откладывается вверх).

Векторы токовI₁ иI₂ определяются геометрическим сложением векторов, cоставляющих токов:I₁ =I_R1 +I_L1;I₂ =I_С2. Вектор тока в неразветвлённой части цепи определяется геометрическим сложением векторов токов ветвей: I=I₁ +I₂.

Для проверки правильности выполненных расчетов и построений необходимо сравнить значения тока расчетного и полученного построением диаграммы.

I I_R1 U

R₁

U X_C2 φ_{1 I} I_C2=I₂

I₂

I₁ X_L1

I₁

I_L1

Для решения задач № 13 – 18 необходимо усвоить понятия и физические процессы, происходящие в параллельном колебательном контуре.

Резонанс в параллельном колебательном контуре наступает при равенстве реактивных проводимостей b_L=b_C,а общая входная реактивная проводимость равна нулю: b=b_L=b_C =0. Реактивные составляющие токов ветвей в режиме резонанса по абсолютной величине равны I_L= I_C, а ток в неразветвленной части цепи (входной ток) совпадает по фазе с напряжением. Такой резонанс называют резонансом токов.

Угловую резонансную частоту при малых потерях в контуре можно определить по формуле:  _о= 1/ LC , при этом входное сопротивление параллельного контура (при малых потерях): Z_о= L /(RC), тогда ток неразветвленной части цепи и токи ветвей соответственно равны: I_o= U/Z_o; I_1о=U/X_Lо; I_2о = U/X_Cо.

Токи I_1о и I_2о приблизительно одинаковы и каждый из них больше тока I_o в Q раз,

т.е. Q = I_1о / I_о = I_2о / I_o , где Q - добротность колебательного контура.

Добротность контура можно определить и из отношения: Q = Z_c/R .

Резонанс токов можно получить в параллельном колебательном контуре изменением частоты питающего напряжения, либо изменением индуктивности или ёмкости в контуре при неизменной частоте: _P = _o= ; L_o=1/² C; C_o= 1/²·L.

Пример 4. Параллельный колебательный контур подключен к источнику энергии с напряжением U=100 В. Индуктивность контура L = 100 мГн, активное сопротивление R = 5 Ом, характеристическое сопротивление Z_c = 50 Ом.

Определить ёмкость С и резонансное сопротивление контура Z_о, резонансную угловую частоту _о, добротность контура Q, токи I₁, I₂, I в момент резонанса.

Вычислить токи I₁, I₂, I при заданных значениях угловой частоты:  = 0; 100; 200; 300; 500; 700; 900 рад/с. Результаты расчёта свести в таблицу и построить графики токов I₁, I₂, I в зависимости от угловой частоты в масштабе М_I = 0,5 А/см; М_ = 100 рад/с/см.

Дано: U =100 В; L=100 мГн=10010^-3 Гн = 0,1 Гн; R=5 Ом; Zс= 50 Ом;

Определить: С; Zс, _о, Q, I_1о , I_2о, I₁, I₂, I.

Решение.

1. Из формулы характеристического сопротивления определим ёмкость контура:

Z_c =  L/C => C = L/ Z_C² = 0,1/50² = 4010^-6 Ф = 40 мкФ.

2. Угловая резонансная частота:

_о = 1/  (LC) = 1/  (0,14010^-6) = 500 рад /c.

3. Входное сопротивление контура при резонансе:

Z₀ = L/ (RC) = 0,1/ (54010^-6) = 500 Ом.

4. Реактивные сопротивления ветвей контура на резонансной частоте:

X_L0 = 0L = 5000,1 = 50 Ом,

X_C0 = 1/( ₀C) = 1 / (5004010^-6) = 50 Ом.

5. Токи в момент резонанса:

общий – I₀ = U/Z₀ = 100 / 500 = 0,2 A,

ток катушки – I₁₀ = U/ X_L0 = 100 / 50 = 2 A,

ток конденсатора – I₂₀ = U/ X_C0 = 100 / 50 = 2 A.

6. Добротность колебательного контура: Q = I₁₀ / I₀ = I₂₀ / I₀ = 2 / 0,2 = 10.

7. Заносим в таблицу результату расчётов при ₀ =500 рад/с и выполним расчёт реактивных сопротивлений и всех токов в контуре на нерезонансных частотах.

Частота питающего напряжения  = 0 рад/с.

Реактивные сопротивления: X_L = L = 00,1= 0 Ом; X_C =1/( C) =  Ом.

Ток катушки: I₁ = U/Z₁ = U/ (R² +X_L²) = 100/ (5²+0) = 100/5 = 20 A.

Ток конденсатора: I₂ = U/X_C = 100 /  = 0 A.

Общий ток: I = |I₁ – I₂ = |20 – 0| = 20 A.

8. Частота питающего напряжения  = 200 рад/с.

Реактивные сопротивления: X_L = L = 2000,1 = 20 Ом;

X_C = 1/ (C) =1/(2004010^-6) =125 Ом.

Ток катушки: I₁ = U / X_L = 100 / 20 = 5 A;

Ток конденсатора: I₂ = U / X_C = 100 / 125 = 0,8 A;

Общий ток: I = | I₁ – I₂ | = | 5 – 0,8 | = 4,2 A.

9.Аналогично рассчитываем табличные величины при значениях угловой частоты  = 300; 700 и 900 рад/с.

Результаты расчётов сводим в таблицу:

 , рад/с	0	200	300	500	700	900
XL, Ом XC, Ом I1 , А I2 , А I , А	0 - 20 0 20	20 125 5 0,8 4,2	30 83,3 3,33 1,2 2,13	50 50 2 2 0,2	70 35,7 1,43 2,8 1,37	90 27,8 1,11 3,6 2,49

11. Графики токов строим в масштабах: М_I =0,5 А/см и М_=100 рад/с.

Для решения задач № 3I-40 необходимо усвоить основные понятия и физические процессы, происходящие в цепях RL и RC при включении их на постоянное напряжение и отключении от источника постоянного напряжения.

Следует иметь отчетливое представление о переходном процессе, который имеет место при переходе от одного установившегося режима таких цепей к другому. Причиной переходного процесса является не­соответствие запаса энергии, имеющейся в магнитном поле W_L= LI²/2 и в электрическом поле W_C= CU²/2 цепи к моменту ее переключения, тем величинам энергии, которыми эти поля должны обладать при новых, условиях работы цепи после ее переключения (коммутации). Необходимо твердо знать законы коммутации.

Первый закон ком­мутации: Ток в цепи с индуктивностью не может изменяться скачком.

Второй закон коммутации: Напряжение на емкости не может изменяться скачком.

Ток в цепи с индуктивностью и напряжение на емкости во время переходного процесса изменяются плавно.

Продолжительность переходного процесса определяется постоянной времени цепи , величина которой зависит от параметров цепи:

для цепи RL:  = L/R; для цепи RC:  = RC, где  - постоянная времени цепи, с;

R - сопротивление цепи, Ом; L - индуктивность цепи, Гн; С - емкость цепи, Ф.

Практически время переходного процесса определяется соотношением: t  5.

Закон изменения тока в катушке индуктивности при включении ее на постоянное напряжение: i = I (1 – e ^–t/).

Закон изменения напряжения на конденсаторе при включении напря­жения (заряд конденсатора): u_c = U(1- e^–t/).

При отключении цепи RL и RC от источника постоянного напряже­ния закон изменения тока: i = Ie^{– t/} и закон изменения напряжения на конденсаторе (разряд конденсатора): u_c= Ue^{– t/}.

x	e-x	x	e-x	x	e-x	x	e-x
0,1 0,2 0,5	0.9048 0,8187 0,6065	1,0 1,2 11,6	0,3679 0,3012 0,2019	2,0 2,3 3,0	0,1353 0,1003 0,0498	4,0 4,6 5,0	0,0183 0,0101 0,0067

В расчетах для определения значения e^–t/ (когда показатель степени t/ известен) или для нахождения показателя степени t/ (ког­да величина e^–t/ известна) удобно пользоваться таблицей показательной функции, при этом t/ = x.

Пример 5. Конденсатор емкостью 10 Ф заряжается через резистор сопротив­лением R=0,1 МОм от батареи напряжением U=100 В.

Определить постоянную времени цепи , время заряда и значе­ния напряжения на конденсаторе и тока в цепи для моментов времени t =0; ; 2; З; 4; 5, построить графики: i = f(t) и u_c = f(t) в масштабе: М_I = 200 мкА/см, М_U = 20 В/см; М_t = 1  /см.

Дано: С = 10 мкФ = I010^-6Ф; R = 0,1 МОм = 0,110⁶ Ом; U = 100 B

Определить:  , t , i=f (t) , u_c =f (t).

Решение.

1. Постоянная времени цепи:  = RC = 0,110⁶1010^-6 = 1 c.

2. Время переходного режима (заряда конденсатора): t = 5 = 5 c.

3. Напряжение на конденсаторе: u_c= U(1 – e^–t/) = 100(1 – e^{– t/}) В.

4. Значение напряжения на конденсаторе в заданные моменты времени:

t = 0 u_c = 100(1 – e^–0) = 100(1- 1) = 0

t =  u_c = 100(1 – e^–1) = 100(1- 0,3679) = 63,21 В

t = 2 u_c = 100(1 – e^–2) = 100(1- 0,1353) = 86,47 В

t = 3 u_c = 100(1 – e^–3) = 100(1- 0,0498) = 95,02 В

t = 4 u_c = 100(1 – e^–4) = 100(1- 0,0183) = 98,17 В

t = 5 u_c = 100(1 – e^–5) = 100(1- 0,0067) = 99,33 В

5. Ток в цепи при заряде конденсатора:

i = Ie^–t/ , где I=U/R = 100 / 0,110⁶ = 100010⁶ A = 1000 мкА,

т.е. i = 1000e^{– t/} мкА.

R

6 . Значение тока в заданные моменты времени:

t = 0 i = 1000e^–0 = 10001 = 1000 мкА

t =  i = 1000e^–1 = 10000,3679 = 367,9 мкА U C

t = 2 i = 1000e^–2 = 10000,1353 = 135,3 мкА

t = 3 i = 1000e^–3 = 10000,0498 = 49,8 мкА

t = 4 i = 1000e^–4 = 10000,0183 = 18,3 мкА

t = 5 i = 1000e^–5 = 10000,0067 = 6,7 мкА

7. Построение кривых u_c= f(t) и i = f (t) по данным расчетов в 4 и 6 пунктах на рисунках:

Задачи № 25 – 30 посвящены расчету трёхфазных цепей переменного тока.

Необходимо хорошо знать соотношения фазных и линейных напряжений при соединении звездой и треугольником, а также соотношения фазных и линейных токов в этих схемах.

Следует твердо запомнить формулы, выражающие активную, реактивную и полную мощности трёхфазной цепи при симметричном режиме.

Пример 6. Три одинаковых приёмника, соединённые звездой, питаются от трёхфазной сети с линейным напряжением 380 В. Полное сопротивление каждой фазы (приёмника): активное – 6 Ом; реактивное индуктивное – 8 Ом.

Определить фазные и линейные токи; полную, активную и реактивную мощности и коэффициент мощности трёхфазного потребителя. Построить в масштабе: М_U = 44 В/см, М_I = 2,5 А/см векторную диаграмму напряжений и токов.

A I_A A

R

B I_B X_L

О

R R

X_L X_L

I_C C

C B

Дано: U_АВ= U_ВС= U_СА=U_Л; U_Л = 380 В R_А= R_В = R_С=6 Ом; X_LА= X_LВ= X_LС= 8 Ом

Определить: I_Л; I_Ф; Р; Q; S; cos .

Решение.

1. Так как задана равномерная нагрузка фаз, то даже при отсутствии нулевого провода напряжения на фазах нагрузки (фазные напряжения) равны:

U_А= U_В= U_С= Uф = Uл /3 = 380/1,73 = 220 В.

2. Определяем полное сопротивление каждой фазы:

Zф= R² + X_L² = 6² + 8² = 10 Ом.

З. Токи фаз определяем по закону Ома.

Линейные токи равны фазным токам при соединении приемников звездой: I_Ф= I_Л =22 А.

4. Коэффициент мощности фазы (а т.к. нагрузка фаз равномерная, то и всего трехфазного потребителя): cos  = R/Z = 6/10 = 0,6.

Следовательно, угол сдвига фаз между напряжением и током в каждой фазе:

 = arc cos 0,6 =53° и sin  = sin 53^O= 0,8 5. Мощности трехфазного потребителя:

полная: S = 3UI = 322010 = 6600 ВА = 6,6 кВА.

активная: Р = Scos  = 3UIcos  = 66000,6 = 3960 Вт = 3,96 кВт.

реактивная: Q = Ssin  = 3UIsin  = 66000,8 = 5280 Вар = 5,28 кВар.

6. Строим векторную диаграмму (рис.28):

Длины векторов фазных напряжений: _U = U/M_U = 220/44=5 см.

Длины векторов фазных токов: _I = I /M_I = 10/2,5 = 4 см.

Построение векторной диаграммы начинаем с вектора фазного напряжения U_А, откладывая его вертикально вверх; вектор U_В отстает от вектора U_А на угол 120^O, а вектор U_С отстает на 120^O от вектора U_В. Соединив концы векторов фазных напряжений, получим векторы линейных напряжений U_АВ, U_ВС, U_СА. Т.к. нагрузка фаз носит активно-индуктивный характер, то векторы токов в фазах отстают от векторов фазных напряжений на угол  =53°.

U_AB

U_A

Ic I_A

φ_A

U_BC φc

Uc U_B

φ_B

U_CA

I_B

Пример 7. От сети трехфазного тока с линейным напряжением 380 В питаются бытовые приборы рабочего поселка. Все приемники распределены на три группы, соединенные звездой по четырёхпроводной схеме.

Определить токи во всех проводах сети и ее общую мощность, если мощность приемников, включенных в фазу А, составляет 3,52 кВт, в фазу В - 2,64 кВт, в фазу С - 1,76 кВт. Построить векторную диаграмму напряжений и токов в масштабе: М_U=44 В/см и М_I=4 А/см.

Дано: Р_А=3,52 кВт = 3520 Вт; Р_В=2,64 кВт = 2640 Вт; Р_С =1,76 кВт = 1760 Вт; Uл=380 В;

Определить: I_А, I_В, I_С, I_О, Р.

Решение.

1. Составляем электрическую схему цепи. Поскольку большенство электроприборов (осветительные лампы) представляют собой активную нагрузку (соs  =1), их можно представить эквивалентными активными сопротивлениями R_А, R_В, R_С.

A I_A

B I_B

C I_C

O

I_A I_B I_C I₀

R_A R_B R_C

2. Поскольку задана трёхфазная четырёхпроводная система, т.е. есть нулевой провод, то фазные напряжения равны: Uф=U_А=U_В=U_С=Uл /3 =380/3 = 220 В.

3. Токи в фазах нагрузки (они же линейные):

I_А=Р_А/Uф соs =3520/220 =16 А;

I_В= Р_В/Uф соs =2640/220 =12 А;

I_С = Р_С/ Uф соs =1760/220 = 8 А.

4. Активная мощность: Р = Р_А+Р_В+Р_С = 3520+2640+1760 = 7920 Вт = 7,92 кВт.

5. Ток в нейтральном (нулевом) проводе определяется по перво­му закону Кирхгофа: I_О=I_А +I_В +Ic, т.e. вектор тока I_o равен геометрической сумме векторов токов фаз.

Для определения тока I_о в нулевом проводе строим векторную диаграмму.

Длины векторов фазных токов в масштабе : М_I = 4 А/см:

ℓ_IA= I_A / M_I = 16 / 4 = 4 см; ℓ_IB = I_B / M_I = 12 / 4 = 3 см;

ℓ_IC = I_C / M_I = 8 / 4 = 2 см.

Длины векторов фазных напряжений в масштабе: М_U= 44 В/см:

U_Ф= U_ф/М_U = 220/44 =5 см.

Векторы фазных токов совпадают с векторами соответствующих фазных напряжений, т.к. нагрузка фаз чисто активная (соs  =1,  = 0^о). Сложение векторов фазных токов и построение вектора тока I_о выполнено на векторной диаграмме (рис.). Величину тока в нейтральном (нулевом) проводе I_о находим, измерив длину вектора I_о и пользуясь масштабом по току: I_о = ℓ_IоM_I = 2,64 = 10,4 А.

U_AB

I_A I_A

I_C

I₀

I_C I_B

U_CA

U_BC U_B

U_C

Пример 8. Три группы осветительных ламп соединены треугольником и пи­таются от сети трехфазного тока с линейных напряжением 220 В. Сопротивление каждой лампы 170 Ом. Группа фазы А состоит из 17 параллельно включенных ламп, фазы В - из 20 ламп и фа­зы С - из 10 ламп.

Определить фазное напряжение, фазные токи и мощность всех ламп. Построить в масштабе М_U = 44 В/см и М_I = 6,5 А/см векторную диаграмму напряжений и токов. Графически, т.е. с помощью векторной диаграммы определить значения линейных токов.

A I_A

B I_B

C I_C

I_AB I_BC I_CA

Дано: Uл =220 В; Rл =170 Ом; n_АВ= 17; n_ВС= 20; n_СА= 10;

Определить: Uф, I_АВ, I_ВС, I_СА, I_А, I_В, I_С, P.

Решение.

1. При соединении треугольником фазное напряжение равно линейному,

т.е. U_АВ = U_ВС = U_СА = U_Ф= U_Л= 220 В.

2. Сопротивление фаз при параллельном включении ламп в фазе:

R_АВ=R_Л / n_АВ=170 / 17=10 Ом; R_ВС=R_Л / n_ВС=170 / 20=8,5 Ом;

R_СА=R_Л / n_С=170 / 10=17 Ом.

3. Фазные токи:

I_АВ=U_Ф/ R_АВ=220 /10=22 A; I_ВС=U_Ф/ R_ВС = 220 / 8,5 = 25,88 A 26 A;

I_СА=U_Ф/ R_СА=220 / 17 = 12.94 А 13 А.

4. Активная мощность всех ламп: P = P_AB + P_BC + P_CA=

= U_ФI_AB·cos _AB + U_ФI_BC·cos _BC + U_ФI_CA·cos _CA; cos _AB= cos _BC= cos _CA=1,

т.к. нагрузка во всех фазах aктивная.

Тогда: P = U_Ф·соs ·(I_АВ+I_ВС+I_СА) = 2201(22 +26 +13)=13420 Вт =13,42 кВт.

5. Построение векторной диаграммы.

Задаём масштабы по напряжению и по току: М_U=44 В/см; М_I = 6,5 А/см.

За основной вектор принимаем вектор напряжения фазы АВ - U_AB, располагая его вертикально вверх, вектор напряжения U_ВС отстает от вектора U_АВ на 120°, вектор U_СА отстает от вектора U_ВС тоже на 120°.

Векторы фазных токов совпадают с векторами соответствующих фазных напряжений, т.к. нагрузка фаз - активная.

Векторы линейных токов, равные разности соответствующих фаз­ных токов I_А =I_AB -I_CA; I_B =I_BC –I_AB; I_C =I_CA –I_BC, получаем, соединив концы фазных токов (рис.).

6. Величины линейных токов находим, измерив на векторной диа­грамме длины их векторов и умножив на масштаб по току: I_А= ℓ_IAМ_I=4,86,5=31,2 А;

I_B= ℓ_IВМ_I=6,66,5=42,9 А; I_С= ℓ_IСМ_I=5,36,5=34,45 А.

U_AB

I_AB

I_A

I_B

I_CA I_BC

U_CA

I_C U_BC

Пример 9.

Три катушки индуктивности, каждая с активным сопротивлением R=1,5 Ом и индуктивным X_L= 2 Он, присоединены треугольником к трехфазной сети с линейным напряжением 220 В {рис.). Вычислить фазные и линейные токи; активную, реактивную и пол­ную мощности цепи. Построить векторную диаграмму в масштабе М_U= 44 В/см, М_I=22 А/см.

Дано: U_Л=220 В; R=1,5 0м; Х_L = 2 Ом.

Определить: I_Ф, I_Л, Р, Q, S.

A I_A A

R

I_B X_L

B I_AB

I_CA

X_L

R

C I_C X_L I_BC R B

C

Р ешение.

1. При соединении треугольником фазное напряжение равно линейному, т.е.

U_Ф = U_Л = 220 В.

2. Полное сопротивление фазы: Z_Ф =  R² + Х_L² =  1,5² + 2² = 2,5 Ом.

3. Фазный ток определим закону Ома: I_AB=I_BC=I_CA=I_Ф=U_Ф/Z_Ф=220/2,5=88 A.

4. Линейный ток при равномерной нагрузке фаз: I_A = I_B = I_C = I_Л = I_ф3 =

881,73 = 152,24 A

5. Угол сдвига фаз между фазным током и напряжением:

cos =R/Z=1,5/2,5 = 0,6 т.е.  = arc cos 0,6 =53° и sin = sin 53= 0,86. 6. Полная мощность трехфазной цепи:

S=3U_фI_ф=322088=58080 ВА=58,08 кВА

7. Активная мощность, потребляемая тремя катушками:

Р = 3U_фI_ф cos  = S cos  = 580800,6 = 34848 Вт  34,8кВт

8. Реактивная мощность:

Q = 3U_фI_ф sin  = S sin  = 580800,8 = 46464 вар  46.5 квар

9. Построение векторной диаграммы:

Длина векторов фазных (линейных) напряжений:

M_U = 44 B/см; ℓ_UФ = U_Ф/ M_U = 220 / 4 = 5 см.

Длина фазных токов в масштабе: M=22 А/см; ℓ_IФ = I_Ф/M_I =88/22 = 4 см.

При построении векторной диаграммы вначале откладываем три вектора фазных (линейных) напряжений со сдвигом относительно друг друга на 120°, выбрав за основной вектор U_АВ и располагая его верти­кально вверх. Векторы фазных токов отстают от соответствующих век­торов фазных напряжений на угол  = 53° (соs  = 0,6), нагрузка активно-индуктивная. Соединив концы векторов фазных токов, получаем треугольник линейных токов - при этом векторы линейных токов явля­ются разностью векторов соответствующих фазных токов: I_А =I_АВ –I_СА; I_В =I_ВС –I_АВ; I_С = I_СА – I_ВС.

Векторная диаграмма приведена на рис.. Если измерить длину векторов линейных токов и умножить на масштаб по току M =22 А/см, то должна получиться величина линейных токов, равная результату вычисления их в 4 пункте решения, т.е. I_Л = ℓ_IЛМ_I = 722 = 154 A  154,24 А.

U_AB

I_A

I_CA φ I_AB

I_C

φ

φ U_BC

U_CA I_B

I_BC

Задачи № 31–36 содержат материал тем «Электрические машины переменного тока» и «Электрические машины постоянного тока».

При их решении необходимо знать: устройство и принцип действия асинхронного двигателя трёхфазного тока, устройство и принцип действия машин постоянного тока; формулы, выражающие зависимость между электрическими величинами, характеризующими данный тип электрической машины и их работу.

Машины переменного тока.

Трёхфазный ток, проходя по обмоткам статора двигателя, создаёт вращающееся магнитное поле, частота вращения которого n₁ зависит от числа пар полюсов двигателя р, на которое сконструирована обмотка статора и частота тока f₁ в цепи: n₁ = 60f₁/ р (об/мин).

Частота вращения ротора n₂ связана с частотой вращения магнитного поля статора n₁ характеристикой двигателя, которая называется скольжением s, равным: s = (n₁ – n₂)/n₁; откуда n₂ = n₁(1- s ) (об/мин).

Скольжение изменяется от 0,01 до 0,06 или от 1% до 6%, возрастая с увеличением нагрузки на валу двигателя.

Пример 10. Трехфазный асинхронный двигатель имеет следующие данные число полюсов 2р = 4; напряжение сети U₁=380 В, частота тока сети f₁=50 Гц; номинальная мощность P_2н =12 кВт; частота вращения ротора n_2н=1460 об/мин, КПД двигателя = 0,88; коэффициент мощности соs  = 0,85.

Определить: потребляемую двигателям мощность Р_1н, номинальный момент М_н, номинальный ток двигателя I_н, номинальное скольжение s_н.

Решение.

1. Потребляемая двигателем мощность: Р_1н = Р_2н / _н = 12/0,88 = 13,64 кВт.

Номинальный ток двиг. : I_н=P_1н/3/U₁/cos_н=13,6410³/1,73/380/0,85=24,4 A.

3. Номинальный вращающий момент: M_н=9550P_2н/n_2н =955012/1460=78,6 H

4. Частота вращения магнитного поля: n₁ = 60f₁/p=6050/2 = 1500 об/мин.

5. Номинальное скольжение: s_н= (n₁–n_2н)/n₁100% =(1500-1460)/1500·100% = 2,7%

Машины постоянного тока.

ЭДС генератора: E = U + I_aR; противо-ЭДС двигателя: E=U-I_aR

Момент вращения двигателя: M = 9550  P₂ / n₂, где P₂ - полезная мощность на валу двигателя; n₂ - частота вращения якоря.

Коэффициент полезного действия машины постоянного тока: =P₂/P₁100%, где P₂ - полезная мощность; P₁ - потребляемая мощность.

Номинальная мощность машины постоянного тока – это полезная мощность на номинальном режиме. Номинальный режим – это расчетный режим, соответствующий нагрузке 100%. Все величины, относящиеся к номинальному режиму, имеют индекс «н»: U_н, I_н, n_н и т. д.

У генераторов независимого возбуждения, у машин последовательного воз-буждения, ток якоря и ток, отдаваемый во внешнюю цепь, одинаковы: I=I_a.

У генератора параллельного возбуждения: Ia = I + Iв;

У двигателя параллельного возбуждения: Ia = I – Iв.

П ример 11. R_н

Напряжение на зажимах генератора

с параллельным возбуждением U_н=120 В;

сопротивление нагрузки R_н=3 Ом; сопро-

тивление обмотке якоря R_я=0,2 Ом; сопро-

тивление обмотки возбуждения R_в=50 Ом.

Определить ЭДС генератора Е, ток в об- I _н

м отке якоря, мощность потребляемую ге-

нератором, если КПД генератора =0,8. I _а

С хема соединений генератора представ- + -

лена на рис.

R_рг

I _в OB

Решение.

1. Ток, отдаваемый во внешнюю цепь (ток нагрузки): I_н = U_н / R_н= 120 / 3 = 40 A.

2. Ток в обмотке возбуждения: I_в = U_н / R_в=120/50=2,4 A.

3. Ток в обмотке якоря: I_а = I_н + I_в= 40 + 2,4= 42,4 A.

4. ЭДС генератора: E = U_н + I_а R_a=120 + 42,40,2=128,8 B.

5. Полезная мощность, отдаваемая генератором: P_1н= P_2н/_н= 4,8/0,8=6 кВт.

+