Гаусс-Жордан әдісі

n белгісіздігі n сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен шешуде n-i ретті (n+1) анықтауышты есептеу өте күрделі жұмыс.

Екіншіден, бас анықтауыш нөлге тең болғанда және белгісіздер саны теңдеулер санымен сәйкес келмесе Крамер әдісі қолданыла алмайды. Сондықтан, бірте-бірте белгісіздерді жою әдісі (Гаусс әдісі) қолданылады, ал бұл әдіс матрицаларды қолдану арқылы кеңейтіледі.

Белгісіздер саны мен теңдеулер саны бірдей болған жағдай үшін Гаусс әдісін қарастырамыз

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + a_2nx_n = b₂

…………………………………..

а_n1х₁ + а_n2х₂ + … + a_nnx_n = b_n

к оэффициент а₁₁= 0 деп есептелік, бірінші теңдеуді осы коэффициентке бөлеміз:

1

( а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁) = х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁ . (*)

а₁₁

Алынған теңдеуді (-а₂₁) – ге көбейтемізде (6) жүйенің екінші теңдеуіне қосамыз, сонда ′ ′ ′ ′

а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + a_2nx_n = b₂

және дәл осылай жалғастырамыз, соңында (*) теңдеуін (-а_n1)-ге көбейтіп соңғы теңдеуге қосамыз, сонда

′ ′ ′ ′

а_n2х₂ + а_n3х₃ + … + a_nnx_n = b_n.

Сонымен, (n-1) белгісіздігі жаңа теңдеулер жүйесін аламыз

а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + a_2nx_n = b₂ ,

а₃₂х₂ + а₃₃х₃ + … + a_3nx_n = b₃ , (7)

…… …… …… …… ……

′ ′ ′ ′

а_n2х₂ + а_n3х₃ + … + a_nnx_n = b_n .

(7) жүйе (6) жүйеден теңдеулерді сызықтық түрлендірулер арқылы алынғандықтан, бұл жүйе (6) жүйемен мәндес, яғни (7) жүйенің шешімдері берілген теңдеулер жүйесінің де шешімдері болады.

Үшінші, төртінші және т.б. n-і теңдеулердегі х₂ – ден құтылу үшін (7) жүйенің бірінші теңдеуін а₂₂ санына бөлу қажет және осы теңдеуді х₂ – нің кері таңбасымен алынған коэффициентіне көбейтіп және оларды қосып мына жүйені аламыз:

′ ′ ′ ′

х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ … + a_1nx_n = b₁ ,

х₂ + а₂₃⁽²⁾ х₃ + … + a_2n⁽²⁾ x_n = b₂⁽²⁾ ,

а₃₃⁽²⁾ х₃ + … + a_3n⁽²⁾ x_n = b₃⁽²⁾,

…… …… …… …….. .

а_n3⁽²⁾ х₃ + … + a_nn⁽²⁾ x_n = b_n ⁽²⁾ .

Бұл алгоритмді n рет қайталап теңдеулер жүйесін диагональді түрге келтіреміз:

′ ′ ′ ′

х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ … + a_1nx_n = b₁ ,

х₂ + а₂₃⁽²⁾ х₃ + … + a_2n⁽²⁾ x_n = b₂⁽²⁾ ,

х₃ + … + a_3n⁽²⁾ x_n = b₃⁽³⁾,

…… …… …… …… .

а_nn ⁽ⁿ⁾ х_n = b_n ⁽ⁿ⁾ .

Соңғы теңдеуден x_n –і табамыз, оның мәнін алдындағы теңдеуге қойып x_n-1-ің мәнін аламыз, осылай жоғары қарай жылжи отырып x₁-ің мәнін табамыз. Бұл Гаусстың классикалық әдісі. Енді n белгісізі бар m теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁ ,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + a_2nx_n = b₂ , (8)

…… …… …… …… …….

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + a_mnx_n = b_m .

Анықтама.

(8) теңдеулер жүйесінің белгісіздерінің коэффициенттерінен құрылған матрица негізгі матрица деп аталады.

Егер осы матрицаға бос мүшені (n+1) тік жолы (бағаны) етіп алатын болсақ, онда ол кеңейтілген матрица деп аталады:

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

A = … … … … .

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

Матрица жолдарына сызықтық амалдар қолдануға болады:

• жолдарды ауыстыру;

• жолды кез келген санға көбейтуге және оны басқ жолдың сәйкес элементтеріне қосуға;

• бағандарды ауыстыру (қай белгісізге олар сәйкес келетінін есте сақтау керек);

• баған элементтеріне амалдар (қосуға, көбейтуге және т.б.)қолдануға болмайды.

Гаусс-Жордан әдісі жолдарға сызықтық амалдар қолдана отырып негізгі матрицаны бірлік матрицаға келтіру болып табылады, яғни

1 0 … 0 с₁

0 1 … 0 с₂

… … … … … .

0 0 … 1 с_m

Сонда, егер тік жолдар орындарын ауыстырмаса, онда жүйенің шешімі:

х₁= с₁; х₂ = с₂;…; х_m = с_m

Қайталау сұрақтары:

1. Алдын ала нөлдерге келтіру

2. Тура жүру әдісі

3. Кері қадам

4. Элементар түрлендіру

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 7-9.

Тақырып: Векторлық алгебра.

Мақсаты: Векторлық алгебраға кіріспе. Вектор ұғымы, оған қолданылатын амалдарды қаарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1. Вектор. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

2. Вектордың проекциясы

3. Вектордың координаталарымен анықталуы

4. Нүкте координаталары. Вектор координаталары