4. Конустық қималардың диаметрлері

Эллипстің (гиперболаның) центрінен өтетін түзуді атайды. Параболаның диаметрі деп оның өсіне параллель және өстің өзін атайды.

Кез келген түзу конустық қимамен екіден артық емес нүктелерде қиылысад. Егер қиылысу нүктелері екеу болса, онда ұштары қиылысу нүктелерінде жататын кесінді хорда деп аталады. Конустық қималардың қасиеті: Конустық қималардың барлық параллель хордалардың орталары оның диаметрінде жатады.

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар:

1. Полярлық коордииаттар жүйесі деп

2. Конустық қима

3. Гиперболаның қасиеттері

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 23-26

Тақырып: Айналу беттері

Мақстаы: Айналу беттері, эллипсоид, гиперболоид, параболоид ұғымдары. Цилиндрлік және сфералық координаталар жүйесін қарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1. Айналу денелері.

2. Цилиндрлік және сфералық координаталар системалары

3. Цилиндрлі беттер

Анықтама. Қандай да бір қисықтың қозғалмайтын d түзуін айналудан шыққан бет d осін айналудан шыққан бет деп аталады.

Егер тік бұрышты координат системасында беттің теңдеуі F(x² + y², z) = 0 түрінде берілсе, онда бет Оz осін айналудан шыққан бет болады.

Дәл сол сияқты: F(x² + z², y) = 0 – Оу осін айналудан шыққан бет,

F(z² + y², x) = 0 – Ох осін айналудан шыққан бет.

Дербес жағдайдағы айналу беттерінің теңдеулерін жазайық.

1. - айналу эллипсоиды

2. - бір қуысты айналу гиперболоиды

3. - екі қуысты айналу гиперболоиды

4. - айналу параболоид

Дәл осылайша жоғарыдағы айналу беттердің теңдеулерін айналу осьтері Ох немесе Оу болған жағдайда да жазуға болады

А лайда жоғарыдағы беттер жалпы жағдайдағы екінші ретті беттердің дербес жағдайы боп табылады. Олардың кейбіреулерін төменде қарастырамыз.

Сфера:

Үш осьті эллипсоид:

Эллипсоидтың координататалар жазықтықтарына параллель қималары эллипстер болады.

Б ір қуысты гиперболоид:

Екі куысты гиперболоид:

Эллипстік параболоид:

Гиперболалық параболоид:

Екінші ретті конус:

Цилиндрлік және сфералық координаталар системалары

Жазықтықтағы сияқты кеңістікте де кезкелген нүктенің орны әртүрлі координат системасында үш координатасы арқылы анықталады. Цилиндрлік және сфералық координат системалары поляр координат системасының жалпыламасы боп табылады.

Кеңістікте О нүктені және сол нүктеден шығатын l сәулені және векторын алайық. О нүкте арқылы нормаль векторына перпендикуляр болатын жалғыз ғана жазықтық жүргізуге болады.

Цилиндрлік, сфералық және тік бұрышты декарт координат системаларының арасында сәйкестіктер енгізу үшін О нүктені тік бұрышты декарт координат системасының басымен беттестіреді, l сәуле – х осінің оң бағытымен, ал нормаль вектор z осінің бойымен кетеді.

Цилиндрлік және сфералық координат системалары қисықтың немесе беттің тік бұрышты декарт координат системасындағы теңдеулері барынша күрделі және мұндай теңдеулермен қиын операциялар жүргізу кезінде қолданылады.

Т еңдеулерді цилиндрлік және сфералық системада көрсету есептеуледі барынша оңайлатады.

z

М

 

0  h x

г

M₁

y

ОМ₁ = r; MM₁ = h;

Егер М нүктеден жазықтықта ММ₁ перпендикулярын түсірсек, онда М₁ нүктенің жазықтықтағы полярлық координаталары (r, ) болады.

Анықтама. М нүктесінің цилиндрлік координаталары деп М нүктесінің кеңістіктегі орнын анықтайтын (r, , h) санын айтады.

Анықтама. М нүктесінің сфералық координаталары деп (r,,), санын айтады, мұндағы  -  мен нормаль арасындағы бұрыш.