Примеры решения задач

1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением . Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислитьсилу, действующую на тело в конце второй секунды.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени:

.

Мгновенное ускорение определяемся первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=ma,где а, согласно условию задачи, - ускорение в конце второй секунды. Тогда

Ответ:

2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8 с. Какой покажется наблюдателю его длина?

Дано: ℓ_о= 1 м; ν = 0,8 с.

Найти: ℓ.

Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой

(1)

где ℓ_о- длина покоящегося стержня; ν - скорость его движения; с -скорость света в вакууме. Подставляя в формулу (1) числовые значения имеем

Ответ: ℓ = 0,6 м..

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями;:1) =0,5си u=0,75с; 2) ν=си u=0,75с. Найти их относительнуюскорость в первом и втором случаях.

Дано: 1) =0,5с, и = 0,75с; 2) =с, u = 0,75с.

Найти:

Решение. Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,

где ν, u- скорости соответственно первой и второй частиц; и'- их относительная скорость; с - скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:

Это означает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ:

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаютсямежду собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнуротклонился на угол = 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным инеупругим. Определить энергию, израсходованную на деформациюшаров при ударе.

Дано: m = 0,5 кг; m₂=1кг; α = 60°; ℓ=0,8 м.

Найти: h₁; ∆E_g.

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара они будут двигаться с общей скоростью ν. Закон сохранения импульса при этом ударе имеет вид

(1)

Здесь ₁ и ν₂ - скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равно нулю (₂=0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол αему сообщается потенциальная энергия, котораязатем переходит в кинетическую: . Таким образом, , поэтому

(2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

(3)

Кинетическая энергия, которой обладают после удара, переходит в потенциальную:

,

Где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим , или с учетом (3),

;

.

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:

.

Используя уравнения (2) и (3), получаем

;

.

Ответ: ; .

5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему «молот – изделие – наковальня» считать замкнутой.

Дано: ; ; .

Найти:

Решение.По условию задачи, система «молот – изделие – наковальня» считается замкнутой, а удар неупругим. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т.е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем

,

Где - скорость молота в конце падения с высоты h; -общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле

.

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения импульса:

.

Для рассматриваемой системы закон сохранения импульса имеет вид , откуда

.

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим

;

Ответ: .

6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением . Определить работу силы за 10 с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: ;

Найти: А, Т=f(t).

Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл

.

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

, или .

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим

;

.

Тогда

Из выражения (3) определим ds:

.

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим

.

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия:

.

Кинетическая энергия определяется по формуле

Подставляя (3) в (7), имеем

.

Ответ: ; .

7. Какую скорость нужно сообщить ракете, чтобы на, стартовав с Земли, не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии,

,

Где m-масса ракеты; М- масса Земли; G – гравитационная постоянная; и - скорости ракеты относительно Земли в начальный и рассматриваемый моменты; и R – расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и рассматриваемый моменты времени; - потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии R от ее центра.

После преобразования уравнения (1) имеем .

Ракета не вернется на Землю, если ее скорость ν будет в бесконечности равна нулю, т.е. при . В этом случае .

Из закона всемирного тяготения следует, что поверхности Земли , откуда

,

где g- ускорение свободного падения. Подставим (2) в (3):

или .

Считая, что ракета приобретает нужную скорость ν₀ уже вблизи поверхности Земли, находим

.

Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли. Она называется второй космической или параболической скоростью.

Ответ: .

8. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано: .

Найти: .

Решение. Используем закон сохранения момента импульса

,

Где J_i – момент инерции стержня относительно оси вращения.

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем

.

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

.

По теореме Штейнера,

,

где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J₀ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня и перпендикулярно ему:

; .

Подставляя, формулы (3) и (4) в (2), имеем:

,

Откуда

, .

Ответ: .

9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: ω=0; m=4 кг; n=720 мин^-1=12c^-1; ; .

Найти: М; N.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

,

где J- момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; - изменение угловой скорости за промежуток времени .

По условию, , где - начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость . Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда и . Момент инерции маховика , где m- масса маховика; R- его радиус. Формула (1) принимает вид

,

Откуда

.

Угол поворота (т.е. угловой путь φ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

,

где - угловое ускорение.

По условию, , , . Тогда выражение (2) можно записать так:

.

Так как , , то число полных оборотов

; .

Ответ: .

10. В сосуде объемом 2 м² находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27⁰С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано: V=2м³; m₁=4кг; М₁=410^-3 кг/моль; m₂=2кг; М₂ =210^-3 кг/моль; Т=300К.

Найти: р; М.

Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона – Менделеева, применив его к гелию и водороду:

;

,

Где р₁- парциальное давление гелия; М₁ – его молярная масса; V – объем сосуда; Т-температура газа; R=8,31 Дж/(мольК) – молярная газовая постоянная; p₂–парциальное давление водорода; m₂- масса водорода; М₂ – его молярная масса. Под парциальным давлением р₁ и р₂ понимают то давление, которое производил бы газ, если бы он один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

. (3)

Из уравнений (1) и (2) выразим р₁ и р₂ и подставим в уравнение (3). Имеем

. (4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле

,

где v₁ и v₂ – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам:

;

.

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

.

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем

.

.

Ответ: р=2493 кПа; М=310^-3кг/моль.

11. Чему равны средние значения кинетической энергии поступательного и вращательного движений молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Дано: m=2 кг; Т=400К; М=210^-3 кг/моль.

Найти: ; .

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия , где k – постоянная Больцмана; Т- термодинамическая температура. Поступательному движению приписываются три (i=3), а вращательному две (i=2)степени свободы. Энергия одной молекулы

; .

Число молекул, содержащихся в массе газа,

,

Где ν – число молей; N_А – постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода

, (1)

Где R=kN_A – молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода

.

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

Ответ: ; .

12. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде вместимостью 2 л при температуре 27⁰ С и давлении 100 кПа.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Среднюю длину свободного пробега молекул кислорода вычисляют по формуле

,

где d- эффективный диаметр молекулы кислорода; n- число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения

, (2)

Где k-постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем

Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1с, равно

, (4)

Где N- число молекул кислорода в сосуде объемом - среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде

(5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с

, (6)

Где - средняя арифметическая скорость молекулы

.

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

.

Подставляя числовые значения, получим

Ответ: , .

13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т=300 К и давлении 10⁵ Па.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

,

где - средняя арифметическая скорость молекул, равная

; (2)

- средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения воспользуемся формулой из примера 11:

. (3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

(4)

Коэффициент внутреннего трения

,

где ρ- плотность газа при температуре 300 К и давлении 10⁵ Па.

Для нахождения ρ воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота – при нормальных условиях , и при заданных условиях:

; (6)

Учитывая, что , , имеем

(7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии (см. формулы (1) и (5)):

(8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

;

.

Ответ: , .

14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: , , .

Найти: Q; ; А.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении

. (1)

Здесь с_р и -удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; -молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

; .

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

, (2)

Здесь с_р и С_р=Мс_р–удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; - молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

; .

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

,

Где С_V –молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов

; .

Работа расширения газа при изобарном процессе , где - изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клайперона –Менделеева. При изобарном процессе

; (3)

(4)

Почленным вычитанием выражения (3) и (4) находим

,

Следовательно,

. (5)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (5), получаем:

;

;

.

Ответ: .

15. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. Насколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение происходило: а) изобарно; б) адиабатно.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Применимпервый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплотыQ, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии и на внешнюю механическую работу А:

. (1)

Величину можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме и изменение температуры :

(2)

Однако удобное изменение внутренней энергии определять через молярную теплоемкость С_V, которая может быть выражена через число степеней свободы:

. (3)

Подставляя величину с_v из формулы (3) в (2), получаем

(4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии , которая выражается формулой (4). Найти для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клайперона –Менделеева для начального и конечного состояний газа:

; ,

или

(5)

Подставив (5) в формулу (4), получим

(6)

Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому . Уравнение (1) запишется в виде

(7)

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть осуществлена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ):

(8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

, (9)

где γ – показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей: . Для аргона – одноатомного газа - имеем .

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

(10)

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клайперона –Менделеева для данного случая: , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

(11)

Подставляя числовые значения в (6) и (11), имеем:

а) при изобарном расширении

;

б) при адиабатном расширении

.

Ответ: а) б) .

16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле

(1)

или

. (2)

Из выражений (2) и (10 находим

Вычислим:

;

.

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мащность машины 335 Вт.

Ответ: ; .

17. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и значения их температуры становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение. Пусть температура горячей воды Т₁, холодной Т₂, а температура смеси Θ. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса

, или ,

откуда

(1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды,

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды,

Изменение энтропии системы равно

,

или с учетом соотношения (1) имеем

.

Так как и , то .

18. Два одинаковых заряда находятся в воздухе на расстоянии 0,1 м друг от друга. Напряженность поля в точке, удаленной на расстояния 0,06 и 0,08 м от одного и другого зарядов, равна 10 кВ/м. Определить потенциал поля в этой точке и величину зарядов.

Дано: ; ; ; ; .

Найти: ; φ.

Решение. Напряженность Е и потенциал φ поля точечного заряда q определяется по формулам:

; ,

Где ε – диэлектрическая проницаемость среды; ε₀ – электрическая постоянная; r–расстояние от заряда до точки поля. Как видно из рис. 1 , так как .

Рис. 1

Откуда:

.

Определим потенциал:

Ответ:

19. Две параллельные плоскости одноименно заряжены с поверхностной плотностью зарядов 2 и 4 нКл/м². Определить напряженность поля: а) между плоскостями; б) вне плоскостей.

Дано: ;

Найти: и .

Решение. Как видно из рис. 2, в зазоре между плоскостями , так как направления векторов Е₁ и Е₂ противоположны. Тогда , где ε₀ – электрическая постоянная.

.

Рис. 2

В пространствевне зазорамежду плоскостями векторы Е₁ и Е₂ совпадают по направлению. Поэтому

Ответ:

20. Заряд величиной 1 нКл переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 0,1 м от поверхности металлической сферы радиусом 0,1 м, заряженной с поверхностной плотностью 10^-5 Кл/м². Определить работу перемещения заряда.

Дано: ; ; ; .

Найти: А.

Решение. Потенциал поля , создаваемого заряженной сферой на расстоянии от ее центра, определяется по формуле:

,

где - заряд сферы; - электрическая постоянная.

Потенциал поля на расстоянии равен нулю: . Работа А по перемещению заряда q из бесконечности в точку поля равна:

.

Ответ: .

21. Конденсатор с парафиновым диэлектриком заряжен до разности потенциалов 150В. Напряженность в нем равна , площадь пластин 6 см². Определить емкость конденсатора и поверхностную плотность заряда на обкладках .

Дано: ; .

Найти: С и σ.

Решение. В плоском конденсаторе напряженность поля , где ε – диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ – электрическая постоянная. Откуда

.

В плоском конденсаторе разность потенциалов U и напряженностьЕ связаны зависимостью , зазор между обкладками. Откуда . Емкость С плоского конденсатора определяется по формуле:

.

Ответ: ; .

22. Энергия плоского воздушного конденсатора 40 нДж,разность потенциалов на обкладках 600 В, площадь платин 1см².

Определить расстояние между обкладками, напряженность и объемную плотность энергии поля конденсатора.

Дано: ; ; ; .

Найти: в, Е, w.

Решение. Энергия конденсатора ; емкость конденсатора , следовательно, . Отсюда

.

Напряженность поля конденсатора

.

Объемная плотность энергии поля:

.

Ответ: ;

23. Плотность тока в никелиновом проводнике длиной 25 м равна 1 МА/м². Определить напряжение на концах проводника.

Дано: .

Найти: U.

Решение. По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока j в проводнике пропорциональна напряженности Е поля в проводнике , где -удельная проводимость; -удельное сопротивление проводника. С другой стороны , где U- напряженность на концах проводника длиной ℓ. Тогда , откуда .

Ответ: .

24. Определить электродвижущую силу аккумуляторной батареи, ток короткого замыкания которой равен 10 А, если при подключении к ней резистора сопротивлением 2 Ом сила тока в цепи равна 1 А.

Дано:

Найти: ε.

Решение. По закону Ома и где r-внутреннее сопротивление батареи. При коротком замыкании цепи внешнее сопротивление и , откуда . Тогда или .

Ответ: .

25.Изолированный прямолинейный проводник изогнут в виде прямого угла со стороной длиной 20 см. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются касательными к нему (рис.3).

Рис. 3

Найти индукцию в центре кольца. Силы токов в проводнике равны 2А. Влияние проводящих проводов не учитывать.

Дано:

Найти: В.

Решение: Индукция в точке поля от элемента любой конфигурации проводника с током I, определяется по закону Био-Савара –Лапласа:

(1)

где r- расстояние от элемента до точки, где определяется индукция; - угол, составленный векторами и r; - магнитная постоянная. Направление вектора индукции перпендикулярно плоскости, содержащей и r, и определяется правилом правого винта. Например, в центре окружности (см. рис.) векторы индукции от всех элементов перпендикулярны плоскости окружности и направлены на нас. Интегрируя выражение (1), получаем индукцию в центре окружности радиуса : .

Индукция, создаваемая в точке М отрезками АВ и ВС и прямого проводника на расстоянии от него, равна:

.

Векторы индукции В₂и В₃в точке М совпадают по направлению с В₁. По условию задачи , и индукция от двух сторон угла составляет:

Результирующая индукция в центре кольца равна сумме:

.

Ответ: .

26.На рис.4 изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояния АВ=ВС=5см, токи I₁=I₂=I; I₃=2I. Найти точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля, вызванного токами I₁, I₂, I₃, равна нулю.

Дано: АВ=ВС=а=5см; I₁=I₂=I; I₃=2I.

Найти: r.

Рис. 4

Решение: Напряженность Н магнитного поля, созданного каждым из проводников на расстоянии R от проводника, определяется по формуле: . С учетом направления токов искомая точка находится на отрезке АВ на расстоянии r от проводника с током I₁.

; ; .

Как видно из рис.2, H₁+H₃=H₂.

; .

Решая уравнение относительно r, получим r=3,33 см.

Ответ: r =3,33 см.

27. Квадратная рамка со стороной 1 см содержит 100 витков и помещена в однородное магнитное поле напряженностью 100 А/м. Направление поля составляет угол 30° с нормалью к рамке (рис. 5). Какая работа совершается при повороте рамки на 30° в одну и другую сторону, если по ней течет ток 1 А?

Дано: а = 0,04 м; N=100; Н= 100 А/м; α_о = 30°; I= 1 А.

Найти: А] и А₂.

Решение: При повороте рамки на 30° по часовой стрелке угол α между В и п будет равен 0°, т.е. рамка расположится перпендикулярно полю. При повороте рамки на 30° в другую сторону угол α₂ между В и п будет равен 60°. Работа поворота рамкиА=1∆Ф, где I - ток; ∆Ф=Ф_о-Ф -изменение магнитного потока, пронизывающего плоскость рамки. Ф=ВScosα, где S- площадь рамки, S= а²;

Рис. 5.

В – индукция магнитного поля, ; μ₀ – магнитная постоянная; Н – напряженность магнитного поля.

; ; .

Тогда

;

Ответ:

28. Электрон с энергией 300 эВ движется перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля напряженностью 465А/м. Определить силу Лоренца, скорость и радиус траектории электрона.

Дано: .

Найти: .

Решение. Кинетическая энергия электрона , откуда

.

Сила Лоренца

Где q- заряд; В – индукция магнитного поля, ; μ- магнитная проницаемость среды; μ₀ – магнитная постоянная; Н – напряженность поля.

.

В магнитном поле электрон движется по окружности радиуса rпод действием центростремительной силы , численно равной силе Лоренца: , тогда

и

Ответ:

29. Перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля индукцией 0,1 мТл по двум параллельным проводникам движется без трения перемычка длиной 20 см (рис. 6). При замыкании цепи, содержащей эту перемычку, в ней идет ток 0,01 А. Определить скорость движения перемычки. Сопротивление цепи 0,1 Ом.

рис. 6

Дано:

Найти: .

Решение. Если проводник длиной движется перпендикулярно линиям индукцииВ магнитного поля со скоростью ν, то на концах его возникает ЭДС индукции ε_i равная скорости изменения магнитного потока Ф. . Магнитный поток Ф=ВS, где S - площадь, которую пересекает проводник при своем перемещении (на рис. 6 заштрихована).

/

Если в перемычке с сопротивлением R возникает ток I, значит на концах ее возникла ЭДС, РАВНАЯ . Эта ЭДС равна

.

Приравнивая правые части этих выражений, получим , откуда

.

Ответ:

30. Цепь состоит из соленоида и источника тока. Соленоид без сердечника длиной 15 см и диаметром 4 см имеет плотную намотку из двух слоев медного провода диаметром 0,2 мм. По соленоиду течет ток 1 А. Определить ЭДС самоиндукции в соленоиде в тот момент времени после отключения его от источника, когда сила тока уменьшилась в два раза. Сопротивлением источника и подводящих проводов пренебречь.

Дано: ;

Найти: ε.

Решение. При размыкании цепи сила тока , где R и L – сопротивление и индуктивность соленоида. ЭДС самоиндукции . В момент t, когда , ЭДС самоиндукции . Сопротивление провода , где ρ - длина провода; - его сечение. Таким образом, , следовательно,

.

Ответ: .

31. Соленоид без сердечника имеет плотную однослойную намотку провода диаметром 0,2мм и по нему течет ток 0,1А. Длина соленоида 20 см, диаметр 5 см. Найти энергию и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида.

Дано: ; .

Найти: W, w.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида , где L- индуктивность соленоида, ; - магнитная постоянная; n- число витков на 1 м длины соленоида, при плотной намотке ; - длина соленоида; -площадь сечения соленоида. Тогда:

Объемная плотность энергии определяется по формуле:

.

Ответ: .

32. Материальная точка массой 10 г. совершает гармоническое колебание с периодом 1 с. Амплитуда колебаний равна 5 см. Определить максимальнуюcилу, действующую на точку, и ее полную энергию.

Дано:

Найти:

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид

(1)

где - смещение материальной точки от положения равновесия;

- циклическая частота колебаний; ω₀ –начальная фаза.

(2)

(3)

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на точку, определяется как

(4)

а ее максимальное значение равно

(5)

Полная энергия колеблющейся точки складывается из кинетической и потенциальной энергий и равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии. Учитывая, что, согласно (2), , находим

(6)

Подставляя в (5) и (6) числовые значения и учитывая, что циклическая частота и период колебаний связаны соотношением , получим

;

;

.

Ответ: ; .

33. Конденсатору емкостью 40 мкФ сообщен заряд 0,3 мКл, после чего его замыкают на катушку с индуктивностью 0,1 Гн. Пренебрегая сопротивлением контура, найти законы изменения напряжения на конденсаторе и силы тока в цепи.

Дано: С=40·10^-6 Ф; q_m=0,3∙10^-3 Кл; L=0,1Гн.

Найти: U=U(t); I=I(t)

Решение. В отсутствие омического сопротивления свободные колебания в контуре описываются уравнением

, (1)

Где - циклическая частота колебаний.

Решение уравнения (1) имеет вид

, (2)

где φ₀ – начальная фаза колебаний. Поскольку в начальный момент времени (при t=0) заряд конденсатора , то и, следовательно, .

Напряжение на конденсаторе

(3)

а сила тока в цепи

(4)

Подставляя числовые значения, получим

;

.

Таким образом, ; .

Ответ: ; .

34. В однородной изотропной среде с и распространяется плоская электромагнитная волна. За время t=1c энергия, переносимая этой волной через поверхность площадью 1м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, равна 1,5 Дж. Найти амплитуды напряженности электрического и магнитного полей волны. Период колебаний .

Дано: ; ; ; .

Найти: Е_m; Н_m.

Решение. Плотность потока энергии электромагнитной волны определяется вектором Пойнтинга:

.

Учитывая, что векторы напряженности электрическогоЕ и магнитного Нполей волны взаимно перпендикулярны, для модуля вектора Пойнтинга получим

Р=ЕН.

Поскольку колебания напряженностей Е и Н совершаются в одинаковых фазах, зависимость плотности потока энергии от времени имеет вид

(3)

Поток энергии через поверхность S, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, равен

(4)

а для энергии, переносимой волной за время t через эту поверхность, получим выражение

(5)

По условию , следовательно, и выражение (5) принимает вид

(6)

Учитывая, что амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны связаны соотношением

, (7)

Представим выражение (6) в виде

(8)

; (9)

Подставляя числовые значения, получим

;

.

Ответ: .

35. Найти минимальную толщину пленки с показателем преломления 1,33, при котором свет с длиной волны 0,64 мкм испытывает максимальное отражение, а свет с длиной волны 0,40 мкм не отражается совсем. Угол падения света равен 45⁰.

Дано: ; ; ; .

Найти: .

Решение. Оптическая разность хода лучей, отраженных от нижней и верхней поверхностей пленки, равна

(1)

Для света с длиной волны , имеющего максимальное отражение, выполняется условие , т.е.

(2)

Отсюда (3)

Для света с длиной волны , не имеющего отражения, и, следовательно,

(4)

Из формулы имеем

(5)

Сравнивая выражения (3) и (5), получаем соотношение

(6)

Из которого следует, что и, соответственно, .

Таким образом,

(7)

Подставляя числовые значения, получим

.

Ответ: .

36. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус r которого можно менять. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны 100 и 125 см соответственно. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при и следующий максимум при .

Дано: ; .

Решение. Радиусы зон Френеля определяются выражением

(1)

Следовательно, число зон Френеля, открываемых отверстием радиуса r, равно

(2)

Так как в центре экрана наблюдается максимум освещенности, то число m- нечетное. Для имеем

(3)

а для получим

(4)

Причем по условию (5)

Из выражений (3) и (4) с учетом (5) следует, что

(6)

Отсюда

(7)

Подставляя числовые значения, получим

.

Ответ: .

37. При падении естественного света на поляризатор проходит 30% светового потока, а через два таких поляризатора -13,5%. Найти угол между плоскостями пропускания этих поляризаторов.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн одинаковой интенсивности, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях. Идеальный поляризатор пропускает колебания, происходящие в его плоскости, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе из первого поляризатора получается линейно поляризованный свет, интенсивность которого с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

, (1)

где τ – коэффициент, учитывающий потери на отражение и поглощение света.

После прохождения второго поляризатора интенсивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света поляризатором, так как и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью поляризатора. В соответствии с законом Малюса и учитывая потери на отражение и поглощение света, имеем

(2)

Из (1) найдем

(3)

Подставляя (3) и (2), получим

(4)

Отсюда

(5)

Подставляя числовые данные, получим

.

и, следовательно, .

Ответ: .

38. Измерение дисперсии показателя преломления оптического стекла дало для и для . Найти отношение фазовой скорости к групповой для света с длиной волны 0,434 мкм.

Дано: ; ; ; .

Найти: .

Решение. Фазовая скорость света равна

, (1)

а групповая скорость определяется как

, (2)

где n-показатель преломления; -длина световой волны. Разделив выражение (1) на (2), найдем

(3)

Для средней дисперсии показателя преломления в интервале длин волн от до имеем

Проводя вычисления, получим

.

Подставляя в (3) значения , и , найдем

.

Ответ: .

39. Определить импульс электронов, которые в среде с показателем преломления 1,5 излучают свет под углом 30⁰ к направлению своего движения.

Дано: ; .

Найти: р.

Решение. Излучение Вавилова – Черенкова возникает, когда скорость движения заряженной частицы в среде больше фазовой скорости в этой среде, равной . Излучение направлено вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направлением движения частицы. Угол между направлением движения частицы определяется формулой

. (1)

Отсюда скорость частицы

(2)

Импульс релятивистской частицы определяется как

, (3)

где - масса покоя частицы. Подставляя (2) в (3), получим

. (4)

Для электронов . Подставляя в (4) числовые значения, найдем

.

Ответ: .

40. Энергетическая светимость черного тела равна 250 кВт/м². определить длину волны, отвечающую максимуму испускательной способности этого тела.

Дано: .

Найти: .

Решение. Энергетическая светимость черного тела, согласно Стефана –Больцмана, равна

, (1)

где -постоянная Стефана –Больцмана; Т- абсолютная температура тела.

Из (1) найдем

. (2)

Длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности черного тела, согласно закону смещения Вина, определяется как

, (3)

где b- постоянная Вина.

Подставляя (2) в (3), получим

(4)

Проводя вычисления, найдем

.

Ответ: .

41. Определить давление света с длиной волны 550 нм, нормально падающего на зеркальную поверхность, если на 1см² этой поверхности ежесекундно падает 10¹⁸ фотонов.

Дано: ; ; ; ; .

Найти: р.

Решение. Давление света при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения определяется по формуле

, (1)

Где I – интенсивность света, равная энергии всех фотонов, падающих в единицу времени на единицу площади поверхности

, (2)

а энергия фотона и длина волны света связаны соотношением

. (3)

С учетом выражений (2) и (3) формулу (1) можно представить в виде

. (4)

Подставляя в (4) числовые значения, получим

.

Ответ: .

42. Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0,257 мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов, равной 1,5В.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Согласно уравнению Эйнштейна,для фотоэффекта

, (1)

Где А- работа выхода электронов из металла; - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Красная граница фотоэффекта определяется из условия равенства энергии фотона работе выхода электронов, т.е.

. (2)

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов может быть определена через задерживающую разность потенциалов

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим

(4)

Из уравнения (4) найдем длину волны света

(5)

Проведя вычисления, получим

.

Ответ: .

43. Гамма –фотон с длиной волны 1,2пм в результате комптоновского рассеяния на свободном электроне отклонился от первоначального направления на угол 60⁰. Определить кинетическую энергию и импульс электрона отдачи. До столкновения электрон покоился.

Дано: ; .

Найти: Т; р.

Решение. Изменение длины волны фотона при комтоновском рассеянии на неподвижном свободном электроне равно

, (1)

Где - длина волны рассеянного фотона; - комптоновская длина волны электрона, м.

Из уравнения (1) найдем

(2)

Выразим энергию падающего и рассеянного фотона через длину его волны:

; (3)

Кинетическая энергия электрона отдачи, согласно закону сохранения энергии, равна

(4)

Подставляя выражения (3) в (4), получим

(5)

Проводя вычисления, найдем

Зная кинетическую энергию электрона, найдем его импульс. Поскольку кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя , импульс и кинетическая энергия связаны релятивистским соотношением

(6)

Подставляя в (6) числовые значения, получим

Ответ: ; .

44. Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить дебройлевскую длину волны протона.

Дано: ;

Найти: .

Решение. Длина волны де Бройля определяется по формуле

, (1)

где h-постоянная Планка; р- импульс частицы.

Так как по условию задачи

, (2)

кинетическая энергия Т протона сравнима с его энергией покоя Е₀, импульс р и кинетическая энергия связаны релятивистским соотношением

(3)

где с-скорость света в вакууме. Подставляя в (3) условие (2), найдем

(4)

Учитывая равенство (4), запишем (1) в виде

(5)

Подставляя в (5) числовые значения, получим

Ответ:

45. Масса движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Чему равна минимальная неопределенность координаты электрона?

Дано: m=3m₀;m₀=0,91·10^-30 кг.

Найти: .

Решение. Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга,

(1)

где и - неопределенности координаты и импульса частицы;

h-постоянная Планка.

Учитывая, что

(2)

где m-масса; v- скорость частицы, соотношение (1) можно представить в виде

(3)

Поскольку неопределенность скорости , как и сама скорость, не может превышать скорость света с в вакууме, то

. (4)

Согласно условию,

. (5)

Подставляя в (4) условие (5), получим

(6)

Проведя вычисления, найдем

.

Ответ: .

46.Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной lна втором энергетическом уровне. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности.

Дано: l; ; n=2.

Найти: x.

Решение. Волновая функция , описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l, имеет вид

(1)

где n-номер энергетического уровня (т=1, 2,3, …); х- координата частицы в яме .

Согласно физическому смыслу волновой функции,

, (2)

где - плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой х.

Если частица находится на втором энергетическом уровне (n=2), то

. (3)

В соответствии с принципом соответствия Бора, выражение для классической плотности вероятности получается при

. (4)

Приравнивая по условию задачи выражение (3) к (4), получим

. (5)

Решая уравнение (5), найдем

k=0, (6)

В пределах ямы таких точек четыре:

.

Ответ: .

47. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра .

Решение. Дефект массы ядра определяется по формуле

, (1)

где Z-зарядовое число; А- массовое число; m_p- масса протона; -масса нейтрона; - масса ядра.

Формулу (1) можно также записать в виде

где -масса атома ; - масса атома, дефект массы ядра которого определяется.

Из справочных таблиц находим:

а.е.м.; а.е.м.; а.е.м.

Подставляя в (2) числовые данные (для числа Z=8 и A=16), получим

а.е.м.

Энергия связи ядра определяется по формуле

, (3)

где с- скорость света в вакууме.

Если дефект массы выражать в , а энергия связи - в , то формула (3) принимает вид

. (4)

Подставляя в (4) числовые значения, получим

.

Удельная энергия связи вычисляется по формуле

. (5)

Проводя вычисления, получим

.

Ответ: ;