Теорема гаусса-остроградского

Рассмотрим поле какого-либо вектора , определенного в каждой точке своего поля. Линиями этого вектора называются линии, касательные к которым совпадают с вектором в каждой точке. Линии приписывают направление, совпадающее с направлением вектора. Условимся проводить через каждую единичную площадку, перпендикулярную линиям , количество линий, равное значению этого вектора в данной точке. Если поле неоднородно, выбирают элементарную площадку dS₀, перпендикулярную линиям, настолько малой, чтобы во всех ее точках вектор можно было считать одинаковым (в пределе – бесконечно малой): , где dN – число линии, проведенных через нормальную площадку dS₀. Потоком линий вектора через произвольную поверхность S называется число линий вектора, проходящих сквозь эту поверхность (если они проведены по сформулированному выше правилу). Элементарный поток . Выберем элементарную площадку dS, не перпендикулярную линиям вектора , так, чтобы ее пронизывал тот же элементарный поток . Из рис.19 . Следовательно, . Введем новый вектор , где – единичный вектор нормали к площадке dS. Тогда

,

так как  – угол между и (см. рис.19). Поток линий вектора через конечную поверхность S

.

Поток через замкнутую поверхность или полный поток линий вектора

.

В векторе использован единичный вектор внешней нормали. Таким образом, полный поток – алгебраическая величина. Выходящие из замкнутой поверхности линии считаются со знаком плюс ( ), входящие – со знаком минус ( ).

Аналогично линиям напряженности электрического поля вводятся линии вектора смещения.

Поток этих линий через произвольную площадку S

.

Сосчитаем полный поток линий вектора смещения через замкнутую сферическую поверхность, в центре которой расположен точечный заряд Q₀, создающий поле (рис.20):

.

Как видим, полный поток линий вектора смещения не зависит от формы поверхности и от того, где внутри нее расположен заряд (рис.21).

Л инии вектора пересекают поверхность S нечетное число раз, причем, кроме одного, с попарно противоположными знаками (входят, выходят). Поэтому в поток линий вектора каждая линия войдет один раз со знаком, определяемым ее направлением. Значит, полный поток вектора смещения через любую замкнутую поверхность, охватывающую создающий поле заряд, равен этому заряду: .

Здесь – вектор смещения на элементе поверхности dS (рис.21). Пусть теперь поле создано n зарядами (рис.22). Для каждого из зарядов Q₀, попавших внутрь мысленной поверхности S, можно написать , где – вектор смещения поля i-го заряда в точках dS. Для каждого из зарядов, не попавших внутрь этой поверхности (рис.23), (четное число пересечений линий с поверхностью). Суммируя все такие уравнения почленно, имеем:

.

гдеk – число зарядов, охваченных поверхностью S. Иначе .

Вынесем общий для всех членов суммы элемент dS за знак суммирования: . Здесь все векторы относятся к одному элементу поверхности dS. По принципу суперпозиции полей вектор смещения результирующего поля , где n – число всех зарядов, создающих поле в данной точке (а не только охваченных поверхностью). Получаем теорему Гаусса – Остроградского

или .

Полный поток линий вектора смещения через любую (замкнутую) поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Е сли в поле можно выбрать какую-либо замкнутую поверхность, через которую не равен нулю поток линий соответствующего вектора, эти линии не замкнуты. То, что такую замкнутую поверхность можно выбрать сколь угодно близкой к заряду (и охватывающей его), доказывает, что точки, в которых находятся заряды, – особые точки поля (вспомним, что для этих точек теряют смысл все характеристики поля: ; ;  и т.д.), заряды — его источники, как и предполагалось ранее. Линии напряженности электростатического поля и линии вектора смещения начинаются и заканчиваются на зарядах (или в бесконечности).

Теорема Гаусса – Остроградского во многих случаях позволяет рассчитать вектор смещения в данной точке электрического поля. Для этого надо мысленную поверхность S провести через точку, в которой определяется вектор . Поверхность выбирается так, чтобы, по воз­можности, проще разрешалось уравнение относительно искомого вектора , лучше всего, если на всей поверхности или на конечном числе ее частей вектор постоянен и составляет постоянный угол с нормалью к поверхности. В тех случаях, когда применение теоремы не встречает непреодолимых математических трудностей, рассчитывают вектор , вектор , затем потенциал, т.е. сравнительно просто получают важнейшие характеристики данной точки электростатического поля.

Например, для бесконечной равномерно заряженной плоскости , где – поверхностная плотность зарядов. Для поля плоского конденсатора .