Глава 4 планирование эксперимента при отыскании экстремальной области

Одной из основных задач планирования эксперимента является задача поиска экстремума функции отклика. Эта задача возникает при оптимизации производственных и научно-технических процессов, осуществляемой для улучше­ния свойств изделий, изучения предельных возможностей приборов и устройств и т.д. Например, граничные испыта­ния радиоэлектронной аппаратуры заключаются в оценке экстремальных возможностей объекта при воздействии на него одновременно нескольких возмущающих воздействий (факторов), например температуры, влажности, электричес­ких и магнитных полей.

Поиск экстремума функции отклика происходит путем исследования поверхности отклика. Эти исследования осу­ществляются посредством измерения поверхности отклика в различных точках факторного пространства. Возникает вопрос: какой должна быть стратегия планирования экс­перимента, чтобы число опытов (измерений), необходимое для нахождения экстремума или близких к нему значений, было бы как можно меньше. Конечной целью проведения экспериментальных исследований, как уже отмечалось, является достижение экстремальной области и получение экстремального значения функции отклика.

Решение этой задачи обычно осуществляется в два эта­па [2]:

первый этап — поисковые движения к области экстре­мума; второй — уточнение экстремальной точки либо с по­мощью дополнительных поисковых опытов, либо с помощью математической модели области экстремума, причем мо­дель эта получается при помощи специально организован­ных опытов.

Все поисковые методы определения экстремума при ак­тивном эксперименте подразделяются на классические и факторные.

1. Классические методы определения экстремума

По классическим методам поисковые опыты для про­движения к области экстремума осуществляются путем по­очередного варьирования независимых переменных. При этом предполагается, что все остальные факторы остаются на это время неизменными (зафиксированными).

Изобразим функцию отклика исследуемого объекта то­пографическим способом с помощью замкнутых линий по­стоянного уровня (рис. 4.1), использовав метод Гаусса — Зейделя. Выбирается (или задается) базовая точка К₀ (Х₀₁, Х₀₂, Х_оn), где п — число управляемых входных величин.

Затем выбирается ступень варьирования независимыми пе­ременными. Она должна быть не слишком малой, чтобы движение к экстремуму не было замедленным, а выбор сту­пени очень большой может привести к грубым ошибкам в нахождении экстремума.

Согласно методу Гаусса — Зейделя, на первом этапе ста­билизируют все независимые переменные, кроме первой, на уровне Х_0j ( ), а переменная Х₁ варьируются с вы­бранным шагом. Таким образом, в окрестностях базовой точ­ки К₀ проводятся два опыта при значениях Х₁₁ = Х₀₁ – ΔХ₁ и Х₂₁ = Х₀₁ + ΔХ₁ и определяются соответственно значения функции отклика У₁ и У₂ в точках K₁ и K₂ (ΔХ₁ — шаг варьирования независимой переменной Х₁). Сопостав­лением Y (Х₁₁) и Y (Х₂₁) выясняется направление измене­ния Х₁, приводящее к увеличению функции отклика Y (X). Для случая, представленного на рис. 4.1, значение функции отклика в точке K₂ больше, чем в точке K₁. В такой ситуа­ции двигаться следует в направлении К₀ — К₂ с выбран­ным шагом ΔХ₁. Процедура продвижения к локальному (частному) экстремуму по фактору Х₁ заканчивается, если для каких-либо трех последовательных точек X_(m-1),1, X_m,1, X_(m+1),_i выполняется Y_m-1 <Y_m> Y_m+l. Точка К_т соответствует локальному экстремуму и выбирается ба­зовой, значение Х_т фиксируется и первый этап заканчива­ется. Для случая, представленного на рис. 4.1, такой точ­кой является точка К₃.

Рис. 4.1. К использованию метода Гаусса – Зейделя

Рис. 4.2. К использованию градиентного метода

На втором этапе точка первого частного экстремума при­нимается за новую базовую точку и варьируется вторая не­зависимая переменная Х₂ со своей ступенью варьирования ΔХ₂, а остальные факторы стабилизируются. Опять осуще­ствляются пробные опыты для выявления направления дви­жения к экстремуму по фактору Х₂, а затем проводятся ра­бочие движения до достижения частного экстремума. Для примера на рис. 4.1 продвижение к экстремуму после про­ведения пробных опытов необходимо осуществлять в на­правлении К₃ - К₆ до достижения точки К₇, принимаемой за новую базовую точку. Если число независимых перемен­ных п, то на третьем этапе варьируется Х₃ при стабилизи­рованных остальных X_j и т.д. до нахождения частного экстремума по n-му фактору. Если главный экстремум не достигнут, то проводят новый цикл опытов из п этапов и т.д. до достижения главного экстремума.

Очевидным достоинством метода Гаусса — Зейделя яв­ляется его наглядность и простота. Однако путь к главному (глобальному) экстремуму обычно оказывается долгим, осо­бенно при большом числе п переменных. Кроме того, при этом трудно стабилизировать все управляемые факторы, кроме одного, на длительное время, что вызывает дополни­тельные погрешности в нахождении частных экстремумов.

Применение градиентных методов позволяет быстрее отыскать область экстремума. Эти методы основаны на пред­варительном определении градиента функции отклика Y (X) = Y (Х₁, Х₂, ..., Х_п). Градиентом непрерывной функции Y (X) называется вектор с координатами

где X₀ = (X₀₁, X₀₂, …, X_0n) – точка, в которой берется градиент

(4.1)

Если функцию отклика в окрестностях точки Х₀ раз­ложить в ряд Тейлора и ограничиться лишь линейными членами,. то область, расположенную вблизи Х₀, можно аппроксимировать зависимостью

(4.2)

Сопоставляя (4.1) и (4.2), нетрудно сделать вывод, что координаты вектор-градиента по отношению к точке Х₀, совпадают с коэффициентами А₁, А₂, ..., А_n линейной по­линомиальной модели.

Методы градиента различаются правилом выбора шага продвижения к экстремуму. Сущность стратегии всех гра­диентных методов состоит в том, что на каждом этапе дви­жения к экстремуму вокруг выбранной (или полученной) базовой точки проводятся пробные опыты, по результатам которых оценивается направление градиента в факторном пространстве, после чего совершается с выбранным рабо­чим шагом λ продвижение в новую базовую точку, которая будет ближе к экстремуму, чем первоначальная точка. Сле­довательно, градиентным называют метод, согласно которо­му точка X_m+1 выбирается из условия

(4.3)

На рис. 4.2. показан порядок проведения опытов по ме­тоду градиента. Как и по методу Гаусса — Зейделя, в ок­рестностях базовой точки ставим пробные опыты для отыс­кания направления продвижения (в данном случае в на­правлении градиента).

Выбираем ступени варьирования ΔX₁, ΔХ₂ независимы­ми переменными. Следует учитывать, что при малых сту­пенях варьирования ΔХ_j ( ) может оказаться боль­шой погрешность оценки составляющих градиента, а при слишком больших — можно не учесть особенности «рель­ефа» в окрестностях базовой точки поверхности отклика.

Пробные опыты в точках К₁, К₂, К₃, К₄ дают значения функции отклика в данных точках. Составляющие гради­ента по переменным Х₁ и Х₂ вычисляются на основании ре­зультатов пробных опытов как отношение приращения функции отклика Y в соответствующих точках к прираще­нию аргумента в тех же точках:

В соответствии с (4.2) было установлено, что составляю­щие градиента являются оценками коэффициентов А_j в рас­сматриваемом случае уравнения плоскости

аппроксимирующей поверхность отклика в районе базовой точки К₀.

Направление градиента K₀K₅ при выбранном шаге λ строится так, чтобы проекция K₀K₅ на ось Х₁ была пропорциональна , а на ось Х₂ — пропорциональна Для этой цели умножают шаг продвижения к экстремуму λ, на соответствующее значение коэффициента , и получают произведения и , которые соответствуют второму слагаемому в правой части выражения (4.3).

Полученные значения откладывают в масштабе (пере­считывают) от базовой точки К₀ вдоль осей Х₁ и Х₂ с учетом знака А_х и Л₂. Если отыскивается максимум функции отклика, то при > 0 это произведение откладывается в положительном направлении оси X_j, а при < 0 — в отрицательном. Таким образом, получают координаты но­вой базовой точки К₅, в окрестностях которой уже описан­ным способом ставится новая серия пробных опытов, по результатам которых оценивается новое направление градиента.

Рабочие шаги продвижения к экстремуму и пробные опыты продолжаются до тех пор, пока все значения не ока­жутся пренебрежимо малыми. Это и будет признаком попа­дания очередной базовой точки в область экстремума.

Модификации классического градиентного метода раз­личаются правилом выбора шага λ продвижения к экстре­мальной области. Так, по методу Кифера — Вольфовица зна­чения пробных приращений ΔХ_j и параметр рабочего шага λ уменьшаются по мере приближения к экстремальной об­ласти (в зависимости от номера шага).

Градиентному методу по сравнению с методом Гаусса — Зейделя, свойственна большая скорость продвижения к экстремуму. Однако он более «чувствителен» к случайным помехам — погрешности в определении проекций градиента сильно сказываются на правильности выбора направления рабочего шага. Градиентный метод при осуществлении проб­ных опытов предполагает также фиксацию регулируемых переменных при варьировании одной из них.