Глава 5 дисперсионный анализ при экспериментальном исследовании

Во многих практических задачах влияние некоторых величин на выходную величину объекта (или его признак) нельзя оценить количественно. Однако исследователя ин­тересует вопрос, насколько существенно влияние того или иного фактора (или их комбинации) на рассматриваемые величины. Пусть, например, какая-либо технологическая операция выполняется параллельно на нескольких стан­ках. Для правильной организации дальнейших этапов тех­нологического процесса необходимо знать, в какой мере однотипными являются средние размеры деталей, получае­мых на параллельно работающих станках. При эксперимен­тальных исследованиях, проводимых различными оператора­ми на различном оборудовании, важно изучение влияния двух факторов на результат эксперимента — оператора и оборудования. Если к тому же данные исследования про­водились в различное время (или в различных местах), то вводится еще один фактор — время (место) проведения экс­перимента. Аналогичная задача возникает при исследовании партий изделий, получаемых от различных поставщиков, при выяснении влияния различных свойств сырья на ка­чество продукции и т.д. Ниже будут рассматриваться за­дачи, связанные с экспериментальными исследованиями, в частности с проверкой правильности их организации.

В общем случае задача выглядит следующим образом. Пусть:

1. выходная величина (признак, отклик) в силу физи­ческих свойств зависит от п факторов, не имеющих количест­венного описания, и от их парных взаимодействий;

2. каждый фактор можно варьировать на нескольких уровнях (эксперимент проводят несколько операторов, применяются различные методы измерения и т.д.);

3. каждую опытную ситуацию можно наблюдать не­сколько раз, т.е. реализуется серия параллельных опытов.

Требуется определить, в какой степени на выходную ве­личину (на фоне воздействия случайных величин) влияют данные качественные факторы, произвести их сопоставление и ранжировать.

При этом предполагают, что отклик (признак) у в об­щем случае является случайной величиной, распределен­ной по нормальному закону, дисперсия ее во всех опытах однородна, т. е. налагается условие воспроизводимости опы­тов. Данные предположения в процессе проведения иссле­дования необходимо проверить.

1. Однофакторный дисперсионный анализ

Рассмотрим идеальный вариант — случайные воздей­ствия отсутствуют и необходимо исследовать влияние толь­ко одного фактора. Наилучшей оценкой влияния фактора может служить величина, аналогичная дисперсии, харак­теризующая рассеяние выходной величины вокруг не­которого среднего значения. Однако не следует забывать, что в данном случае наблюдается только аналогия с дис­персиями, так как — детерминированные величины, по­скольку влияющие величины и погрешность восприятия отсутствуют.

Тогда количественная оценка влияния фактора может быть представлена в виде [25]

где N — количество приборов (уровней), каждым из кото­рых проводится одно измерение.

В действительности наблюдается влияние случайных неучтенных величин, которые в совокупности можно обо­значить ε. Влияние их можно представить в виде При этом дисперсия выходной величины уже будет определяться не только влиянием фактора х, но и случайной величины ε. Сопоставление влияния этих величин через сопоставление обусловленных ими дисперсий и является основой дисперси­онного анализа. Если исследуемый фактор несущественен и дисперсия воспроизводимости, характеризующая один опыт, известна, то общая дисперсия будет в основном определяться дисперсией воспроизводимости. Если же фактор существе­нен, то можно считать, что

Исходя из данного со­отношения, можно найти дисперсию, которую об­условливает изучаемый фактор. Обычно диспер­сия воспроизводимости неизвестна и ее необ­ходимо найти по резуль­татам эксперименталь­ных исследований, поэ­тому проводят парал­лельные опыты для каж­дого уровня варьирования факторов.

Предположим, что исследование объекта проводится одновременно различными приборами с целью уменьшения влияния фактора — прибора на результат исследования (погрешность показаний). Выясним, можно ли системати­ческие погрешности приборов считать одинаковыми.

Пусть число приборов будет N (фактор варьируется на N уровнях) и для каждого прибора (уровня) проводится се­рия из т параллельных опытов. Число опытов при реали­зации однофакторного дисперсионного анализа будет Nm. Результаты опытов приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

По результатам исследований для каждого i-го уровня независимой переменной (разновидности прибора) находят среднее значение (предполагаем одинаковую кратность про­ведения опытов)

Разброс значений откликов в фиксированной строке (для конкретного прибора) определяется совокупным дей­ствием случайных величин и характеризуется оценкой дисперсии воспроизводимости. Разброс между средними значениями выходных величин определяется влиянием фактора. Если систематические погрешности приборов одинаковы, то следует ожидать повышенного рассеивания выборочных средних

Несмещенная оценка дисперсии воспроизводимости для всей совокупности исследования определится в виде

где

Рассмотрим числитель данного выражения , введя под скобки и :

Рассмотрим отдельно второе слагаемое в правой части выражения :

Так как сумма отклонений от среднего в i-й серии равна нулю

то и второе слагаемое также равно нулю.

Следовательно, полная сумма квадратов отклонений от­дельных наблюдений от :

или в сокращенном виде

где

Слагаемое представляет сумму квадратов разностей между средними отдельных серий (строк, приборов) и общей средней по всей совокупности наблюдений и ха­рактеризует степень расхождения систематических погреш­ностей в отдельных приборах. Ее также называют «рассеи­ванием по факторам».

Слагаемое представляет сумму квадратов разностей между отдельными наблюдениями и средней соответству­ющей серии (среднее значение показаний данного прибо­ра) и характеризует «остаточное рассеивание» случайных погрешностей опытов.

Следовательно, полное рассеивание показаний приборов складывается из двух компонент, характеризующих рас­сеивание между приборами, т.е. различие между их систе­матическими погрешностями и рассеиванием «внутри» приборов (серий), характеризующим одинаковую (на осно­вании предпосылок дисперсионного анализа) для всех при­боров вариацию под воздействием случайных величин .

Предположим, что гипотеза равенства систематических погрешностей верна и потому нормальные распределения для всех приборов тождественны, т.е. погрешности имеют одинаковый центр распределения (систематическая погреш­ность) и дисперсию В этом случае все Nm наблюдений можно рассматривать как выборку из одной и той же нор­мальной совокупности, a , как уже отмечалось, является несмещенной оценкой дисперсии по этой выбор­ке. Откуда следует, что отношение будет следовать распределению χ² с (Nm — 1) степенями свободы.

Однако средние по группам (приборам) также, в со­ответствии с предположением, нормально распределены о дисперсией каждая и независимы друг от друга. По­этому

является несмещенной выборочной характеристикой дис­персии , полученной на основании N наблюдений вели­чины . В результате можно заключить, что величина

распределена по закону χ² с (Nm — 1) степенями свободы.

Сумма квадратов отклонений от среднего в каждой серии, отнесенная к дисперсии

также распределена по закону χ² с (т — 1) степенями свободы.

Согласно свойству композиции для N серий (приборов), компонента

также распределена по закону χ² с N (т — 1) степенями свободы. Следовательно, является также оцен­кой параметра .

Из изложенного следует, что в случае равенства система­тических погрешностей приборов (несущественности влия­ния исследуемого фактора) существуют три несмещенные оценки . Отношение двух однородных оценок дисперсий

(5.1)

будет следовать F-распределению с (N — 1) и N (т —1) степенями свободы. Задаваясь α уровнем значимости, на основании таблицы F-распределения, можно установить соответствующий α предел, так что

P(F_p > F_т) = α/100.

Рассмотрим случай, когда исследуемый фактор сущест­венен, т.е. гипотеза о равенстве систематических погреш­ностей (центров распределения случайных погрешностей) неверна, но параметр во всех N совокупностях один и тот же. Изменение центров построчных распределений, т.е. замена на (где c_i — систематическая составля­ющая погрешности i-го прибора) не изменит значения , которое по-прежнему распределено по закону χ² с N (т — 1) степенями свободы, а остается несмещенной оценкой . Однако числитель выражения (5.1) именно учи­тывает расхождение между центрами распределения c_i и имеет тенденцию к возрастанию при увеличении расхож­дения между систематическими составляющими. Поэтому правило проверки правильности выдвинутой гипотезы мож­но представить в следующем виде: гипотеза с₁ = с₂ = ... = с_N принимается, если F_Т > F_р. Схема однофакторного дисперсионного анализа может быть представлена в виде табл. 5.2.

Рассмотрим пример применения однофакторного дис­персионного анализа для определения отличия системати­ческих погрешностей трех приборов (N = 3). Одно и то же значение выходной величины объекта исследования изме­рялось этими приборами пять раз (кратность проведения опыта - число опытов внутри серии т = 5). Полученные результаты приведены в табл. 5.3.

Таблица 5.2

Таблица 5.3

Для упрощения вычис­лений вычтем из всех граф таблицы число 100 (при этом зна­чение дисперсий не изменится), а также воспользуемся сле­дующим соотношением:

Преобразованные значения результатов измерения при­ведены в знаменателе соответствующей графы табл. 5.3. На основании последнего соотношения получим удобные для расчета формулы, не требующие вычисления средних значений. Для полной суммы квадратов , принимая во внимание, что k = Nm:

Для суммы квадратов между приборами

(5.2)

Для суммы квадратов внутри приборов

(5.3)

Для определения и вычислим соответствующие составляющие выражений (5.2), (5.3), исходя из табл. 5.3.

Таблица 5.4

Чтобы оценить, одинаковы ли систематические погреш­ности приборов N = 3, необходимо, используя выражения (5.-2), (5.3) и данные табл. (5.4), найти (при условии т = 5):

Число степеней свободы определяется в соответствии с табл. 5.2:

Теперь можно произвести проверку нулевой гипотезы о равенстве систематических погрешностей приборов. Для этой цели определим расчетное значение коэффициента Фишера

Сравним найденное значение с табличным F_T. Задав­шись уровнем статистической значимости α = 5 %, по табл. П.З из столбца 2 и 12-й строки определим значение F_T = 3,88. Следовательно, F_p > F_T, поэтому гипотеза о равенстве систематических погрешностей приборов отверга­ется.

Если же предположение о том, что дисперсия оста­ется одной и той же для всей совокупности приборов, то мож­но найти оценку дисперсии и, на основании того, что N (т — 1) имеет распределение χ² с N (т — l) степенями свободы, и доверительный интервал для нее. Действительно, для i-ro прибора при l-ом измерении

где с_i — систематическая погрешность i-го прибора; ε_il - l-я реализация случайной погрешности. Тогда

откуда

(5.4)

Как уже было указано, для рассматриваемого случая

где

Обозначим получим

(5.5)

Следовательно, дисперсия между приборами (факторами) несет информацию как о дисперсии случайной величины , так и об усредненном отклонении систематических по­ грешностей. Из выражений (5.4) и (5.5) следует:

А

(5.6)

где является мерой изменения систематических погрешностей.

По результатам выборки можно определить оценку в виде

Кроме того, по результатам проведенного дисперсион­ного анализа можно оценить расхождение (рассогласова­ние) между систематическими погрешностями i-ro и j-го приборов. Для этого определим значение коэффициента [24]

который следует распределению Стьюдента с N (т — 1) степенями свободы (в предположении = const). На осно­вании найденного коэффициента t при числе степеней сво­боды N(m—1) можно определить доверительный интервал для разности с_i— c_j в виде

На практике встречаются случаи, когда числа наблюде­ний в сериях различны. Обозначив через т_i число наблюдений l-й группы (серии) при , получим:

Основное соотношение дисперсионного анализа запишет­ся в следующем виде:

Рассмотрим пример проведения дисперсионного анализа для случая, когда число наблюдений в группах различно [11]. Для четырех составов резиновой смеси проверялся предел прочности на растяжение. Из каждого состава было изготовлено по четыре одинаковых образца. Цель испытаний заключалась в определении прочности каждого образца, вы­боре наилучшего и получении оценки экспериментальной по­грешности. Один из образцов смеси А по внешним признакам сразу был признан дефектным и исключен из испытаний. Резуль­таты испытаний приведены в чис­лителях граф табл. 5.5. Для упрощения обработки и анализа данных вычтем из каждого зна­чения 3000 и разделим на 5. Эти кодированные данные представ­лены в знаменателях граф. При этом отношение средних квадратов не меняется, а диспер­сия случайных величин составляет первоначальной.

Таблица 5.5

После вычислений получаем:

Тогда средний квадрат между смесями

Средний квадрат внутри смесей

Расчетное значение коэффициента Фишера

F_p = 4320,66/355,61 = 12,15.

Табличное значение F_T при степенях свободы 3 и 11 и (1 – α) = 0,999 меньше расчетного, поэтому можно сде­лать вывод о различии среднего предела прочности на рас­тяжение для четырех составов резиновых смесей.

95 % доверительных интервалов для среднего предела прочности на растяжение каждой из этих смесей определя­ются по формуле

где t находится из таблиц распределения Стьюдента при числе степеней свободы 11, так как оценка основана на 11 степенях свободы из общего числа их 14.