Определение момента инерции тел

Цель работы: определить с помощью крутильного маятника зависимость момента инерции тела от расстояния до оси вращения, проверить выполнение теоремы Штейнера.

Оборудование: крутильный маятник, секундомер, исследуемое тело (составной цилиндр).

Теоретическое введение

Момент инерции – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела при его вращательном движении. В этом смысле он подобен массе, являющейся мерой инертности тела при поступательном движении. Величина момента инерции, по определению, равна сумме произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний r до оси вращения:

J = S m _i r_i² или J = ò r ² dm. (1)

Величина момента инерции тела зависит не только от массы тела, но и от расположения частей тела относительно оси вращения. Чем дальше от оси находятся части тела, тем больше момент инерции.

Т еоретический расчет момента инерции тел упрощается при применении теоремы Штейнера. Получим уравнение теоремы. Пусть точка О – центр масс тела, через которую проходит ось О – О, а параллельно ей на некотором расстоянии а ось С− С (рис. 1). Установим связь между моментами инерции тела относительно этих осей. Представим вектор от оси С–С до некоторого элемента массы m_i как сумму векторов (рис. 1). Подставив в определяющую формулу момента инерции (1) радиус-вектор r и возведя сумму в квадрат, получим

. (2)

Первый член этого уравнения J₀ – момент инерции тела относительно оси О – О, проходящей через центр масс. Во втором члене сумма определяет положение центра масс тела относительно оси О – О, и так как ось проходит через центр масс, то эта сумма равна нулю. Третий член – это произведение суммы масс частиц, то есть массы тела, на квадрат расстояния между осями. Итак,

J = J₀ + m a ² . (3)

Это уравнение теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. В тех случаях, когда момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс J₀ , можно сравнительно легко рассчитать, теорема Штейнера позволяет определить момент инерции относительно произвольной оси J, избежав весьма трудоемких расчетов. Теорему Штейнера можно экспериментально проверить, если измерить момент инерции тела при разных расстояниях от оси вращения до центра масс тела. Если зависимость J от a ² будет линейной с угловым коэффициентом, равным массе тела, то теорема верна.

Одним из методов измерения момента инерции тел является метод крутильного маятника. Крутильный маятник – это тело, произвольной формы, подвешенное на упругих струнах. В лабораторной установке – это рамка (рис.1). Если рамку отклонить от положения равновесия и отпустить, то она под действием момента упругих сил струны (M =−kα) возвращается к положению равновесия, но по инерции проходит положение равновесия, закручивая струну в противоположном направлении. Возникают вращательные колебания. Применим основной закон динамики вращательного движения: произведение момента инерции рамки на угловое ускорение равно моменту упругих сил подвеса:

. (4)

Это дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением должна быть функция, обращающая его в тождество. Например, это может быть функция косинуса: , где Т – период колебаний. Подставив функцию в уравнение (4), получим, что она будет решением, при условии, если период колебаний маятника равен

_. (5)

И сследуемое тело представляет собой составной цилиндр из двух половин, полуцилиндров. Наденем их на стержень на одинаковом расстоянии а от оси (рис. 2). Момент инерции маятника изменится и будет равен сумме момента инерции рамки и исследуемого цилиндра. Период тоже изменится и станет равным

. (6)

Решая совместно уравнения (5) и (6), исключая коэффициент упругости подвеса к, получим формулу для экспериментального определения момента инерции цилиндра по известному моменту инерции рамки

. (7)