§ 8.6. Корневые методы

Как было сказано выше, вид корней характеристического уравнения определяет характер переходных процессов в системе автоматического регулирования. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействию системы, не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные условия на корни характеристического уравнения.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид

где р = с + j ω — комплексное число.

Используя понятие среднегеометрического корня

где р1, р2, . . ., рn — корни характеристического уравнения, в формуле (8.25) можно перейти к

новой комплексной величине q путем подстановки . В результате получим уравнение в котором безразмерные коэффициенты определяются выражением а его корни равны

§ 8.7. Диаграмма Вышнеградского

Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка Приведем его к нормированному виду. Для этого разделим все члены на а3 и введем новую

переменную

Здесь использовано понятие среднегеометрического корня

В результате получим нормированное уравнение

где коэффициенты называются параметрами Вышнеградского. Граница между этими двумя случаями определяется равенством нулю дискриминанта уравнения третьей степени (8.49), который может быть получен, например, из формулы

Кардана для решения кубического уравнения

Это уравнение дает на плоскости параметров А, В две кривые: СЕ и СF (рис. 8.15). Внутри

области ЕСF дискриминант положителен. Следовательно, в этой области имеется три вещественных корня (область III). В остальной части плоскости дискриминант отрицателен, что соответствует наличию пары комплексных корней. Будем различать здесь два случая: I — пара комплексных корней лежит ближе к мнимой оси, чем вещественный, и II — вещественный корень лежит ближе к мнимой оси, чем пара комплексных. Границей между этими двумя случаями является расположение всех трех корней на одинаковом расстоянии от мнимой оси. Уравнение этой границы можно найти, положив значения корней .Тогда характеристическое уравнение (8.49) будет

Уравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает

В результате совместного решения последних трех равенств получаем после исключения α

и β искомое уравнение, соответствующее граничному случаю:

Написанное равенство дает на плоскости параметров кривую СD.

В результате область устойчивости разбивается на три части: I, II, III (см. рис. 8.15). Этот

график называется диаграммой Вышнеградского. Он построен им в 1876 году в работе, которая положила начало развитию теории автоматического регулирования. На рисунке показан характер расположения корней внутри каждой из этих частей области устойчивости.

В области ///, где все корни вещественные, в зависимости от начальных условий получим

апериодический переходный процесс в одной из форм, показанных на третьем графике рис. 8.16.

Область /// носит название области апериодических процессов.

В областях / и //, где имеется один вещественный корень и два комплексных, переходный

процесс будет иметь соответственно формы, показанные на первых двух графиках рис. 8.16. В области /быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной составляющей.