40 Вариант.

Задание 1.

Даны вершины треугольника АВС. Требуется найти:

1. длины сторон АВ и АС, их уравнения и угловые коэффициенты;

2. величину угла А в градусах;

3. уравнение биссектрисы АR угла А;

4. точку пересечения медиан треугольника АВС;

5. уравнение высоты CN и точку N её пересечения со стороной АВ;

6. уравнение прямой l, проходящей через вершину В параллельно стороне АС и её точку пересечения с высотой CN;

7. координаты точки D, симметричной точке С и лежащей на медиане СМ;

8. вычислить площадь четырехугольника АDBC.

А (-4; -1)

В ( 4;-7)

С ( 8; 8)

Задание 2.

Даны точки плоскости А, В, С. Требуется:

1. составить уравнение окружности, проходящей через эти точки, определить координаты центра N и величину R радиуса окружности;

2. написать уравнение гиперболы, проходящей через точки В и С, найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и асимптоты;

3. построить точки и кривые в системе координат.

А ( 3; 6)

В (-2; 1)

С ( 3; -4)

Задание 3.

Решить системы линейных уравнений с помощью определителей.

Задание 4.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.

Задание 5.

Исследовать систему линейных уравнений на совместность и решить ее, если она совместна

Задание 6.

Представить систему линейных уравнений в матричной форме и решить систему с помощью обратной матрицы; пользуясь правилом умножения матриц, показать, что произведение матрицы системы на обратную ей матрицу равно единичной матрице Е.

Задание 7.

Доказать образуют ли вектора (а, в, с) базис. Найти координаты вектора х в этом базисе.

а(-3;-2;4); в(-1;5;-8); с(-2;3;3) , х(1;-1;-6).

Задание 8.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

Требуется:

1. записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию вектора на вектор ;

A(-3;4;-3)

B(-2;2;-1)

C(8;6;7)

D(5;8;5)

Задание 9.

Даны координаты точек А, В, С.Требуется:

1. Составить канонические уравнения прямой АВ.

2. Составить уравнение плоскости Q, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.

3. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Q.

4. Вычислить расстояние от точки С до прямой АВ.

5. Найти точку D, симметричную точке С относительно прямой АВ.

A(2;2;1)

B(6;4;-3)

C(3;1;-3)

Задание 10.

Прямая линия задана в виде пересечения двух плоскостей. Написать канонические уравнения этой прямой.

Задание 11.

Найти пределы функций:

, ; ; ;

б) ; в) ; г)

Задание 12.

Найти производную , пользуясь формулами дифференцирования.

а) б) в)

Задание 13.

В задачах дана функция Z=F(x, у). Найти полный дифференциал dz;

Задание 14.

Найти указанные неопределенные интегралы и вычислить определенные интегралы

а) б) в)

Задание 15.

Найти ООФ и изобразить эту область на плоскости OХУ:

Задание 16.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x;y) = x² + 3y² + 2x + 6y

А) в прямоугольнике

В) (x – 2)² + (y – 1)² = 9.

Задание 17.

Найти экстремумы функции:

Задание 18.

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости

Задание 19.

Вычислить где

Задание 20.

Вычислить где область V ограничена поверхностью

Задание 21.

Вычислить криволинейный интеграл L дуга параболы y² =2x от точки A(2;-2) до точки B(8;4).

Задание 22.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Задание 23.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

А)

В)