3. Вычисление площадей и объемов

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется пло­щадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3;-1;2). Найти его площадь.

Для определения площади треугольника ABC найдем координаты векторов и : = (1 - 4; 2 - 4; 3 – 4) = (-3; -2; -1), = (3 - 4; -1 - 4;2 – 4) = (-1; -5; -2). Затем вычислим их векторное произведение:

х =

Модуль этого векторного произведения равен

. Следовательно, .

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить мо­дуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах . Таким образом, объем этой пирамиды равен V_SABC =

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; -1; 1), B(5; 5; 4), C(3;2;-1), S(4; 1; 3).

Вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: ^- = (5 - 2; 5 - (-1); 4 – 1) = (3;6;3), = (3 - 2; 2 - (-1);-1 – 1) = (1;3; -2), = (4 - 2; 1 - (-1); 3 – 1) = (2;2;2), и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов:

,

Линии на плоскости

Одну и ту же линию на плоскости можно задать разными способами: 1) уравнением в прямоугольных координатах;

2) уравнением в полярных координатах;

3) параметрическими уравнениями;

4) векторным уравнением.

Векторное уравнение линии.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти её уравнение.

Вторая: зная уравнение кривой, изучить её форму и свойства.

Примеры некоторых кривых.

1) Окружность.

2) Циклоида.

3)

Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют разные виды её уравнений.

получим уравнение .

Теорема. Уравнение определяет прямую линию и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Следствие. Если прямая проходит через начало координат, то . Следовательно, уравнение этой прямой имеет вид: .

Если прямая параллельна оси Ох, то , . Уравнение прямой примет вид:

Если прямая параллельна оси Оу, то , не существует.

Уравнение прямой примет вид: , где а – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.