Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов.

Правило треугольника. Суммой двух векторов и называется вектор, начало которого лежит в начале вектора и конец в конце вектора (рис.1,б)

Правило параллелограмма. Если векторы отложены от общего начала и на них построен параллелограмм, то суммой векторов и является вектор, совпадающий с вектором-диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала векторов (рис.1,в).

а) б) в)

Рис. 1

2. Вычитание векторов (рис.2).

Рис. 2

3. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число λ называется вектор такой, что:

1)

2) , если λ>0 и , если λ<0.

Проекция вектора на ось

Пусть даны ось L и вектор . Обозначим через А́ и B соответственно проекции точек А и В на ось L (рис.3).

Рис. 3

Проекцией вектора на ось L называется число, равное длине вектора , взятое со знаком «плюс», если направления вектора и оси L совпадают, и со знаком «минус» в противном случае.

Аналогично определяется проекция вектора на вектор.

Справедлива формула:

, где φ – угол между вектором и осью.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат ОХУZ. Выделим на координатных осях ОX, ОY и ОZ единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (рис.4).

Рис. 4

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат

.

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁, М₂ и М₃. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда

ПР_х

ПР_у

ПР_{z .}

По определению суммы нескольких векторов находим

.

Так как , , то

	(1)
	(2)

Обозначим проекции вектора на оси ОX, ОY и ОZ соответственно через а_Х, а_У и а_Z. Т.е.

,

.

Тогда из равенств (1) и (2) получим

(3)

Формула (3) называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Числа а_Х, а_У и а_Z называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (3) часто записывают в виде

.

Равенство означает, что .

Линейные операции над векторами в координатной форме

1. При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

2. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).

3. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать

,

т.е.

(4)

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат

(5)

Найдем координаты вектора , если известны координаты точек А(х₁;у₁;z₁) и В(х₂;у₂;z₂) (рис.5).

Рис. 5

= .

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала

.

Пример 1.

По данным векторам и найти координаты вектора .

Решение:

Вектор . Координаты вектора .

Пример 2.

Проверить коллинеарность векторов и .

Решение:

Если векторы и коллинеарны, то должно выполняться условие = или в координатной форме

.

Для заданных векторов .

Следовательно, векторы и коллинеарны.

При этом и , то есть модуль вектора равен модуля . Знак «–» указывает, что векторы направлены в противоположные стороны.