Задание 2
В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено распределение деталей по затратам времени, представлено в прил.Б.
На основании этих данных вычислите:
а) Средние затраты времени на изготовление одной детали;
б) Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение;
в) коэффициент вероятности 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;
д) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с минимальными затратами времени на их изготовление. Перед тем как производить расчеты, необходимо записать условие задачи и заполнить таблицу
Табл. 2.1 Исходные данные для расчетов
№ п/п |
Затраты времени на одну деталь, мин |
Число деталей, шт. |
1 |
До 18 |
12 |
2 |
18-20 |
28 |
3 |
20-22 |
30 |
4 |
22-24 |
22 |
5 |
24 и более |
8 |
Итого |
|
100 |
Решение
Приведем группировку к стандартному виду с равными интервалами и найдем середины интервалов для каждой группы. Результаты представлены в таблице:
Таблица 2.2
Затраты времени на одну деталь, мин. |
Затраты времени на одну деталь, мин. |
Затраты времени на одну деталь, мин. |
Число деталей, шт |
До 13 |
16-18 |
15 |
12 |
13-15 |
18-20 |
17 |
28 |
15-17 |
20-22 |
19 |
30 |
17-19 |
22-24 |
21 |
22 |
Более 19 |
24-26 |
23 |
8 |
Итого |
|
|
100 |
Для расчета показателей представим расчетную таблицу:
Таблица 2.3.
Группы |
Середина интервала, xцентр |
Кол-во, fi |
xi * fi |
(x - xср)2*f |
16 - 18 |
17 |
12 |
204 |
166.06 |
18 - 20 |
19 |
28 |
532 |
82.84 |
20 - 22 |
21 |
30 |
630 |
2.35 |
22 - 24 |
23 |
22 |
506 |
114.36 |
24 - 26 |
25 |
8 |
200 |
146.55 |
Итого |
|
100 |
2072 |
512.16 |
1. Средние затраты времени на изготовление одной детали определим по формуле средней арифметической взвешенной:
мин.
2. Дисперсия определяется по формуле:
мин.
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
мин.
Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).
мин.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 20.72 мин. в среднем на 2.26 минут.
Оценка среднеквадратического отклонения.
мин.
3. Коэффициент вариации определяется по формуле:
Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
4. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Поскольку дана 10%-ная случайная бесповторная выборка, то n/N=0,1,
где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.
где d - процент выборки.
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.954/2 = 0.477
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.477
tkp(γ) = (0.477) = 2
(20.72 - 0.43;20.72 + 0.43) = (20.29;21.15)
Т.е., с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средние затраты времени на изготовление другой детали на заводе находятся в пределах от 20,29 до 21,15 мин.
5. Выборочная доля w числа деталей с минимальными затратами времени на их изготовление равна:
р*= 8/100=0,08 или 5%
Учитывая, что при вероятности p = 0,954 коэффициент доверия t = 2, вычислим предельную ошибку выборочной доли:
(0,08 - 0.0271; 0,08 + 0.0271) = (0.0529; 0.11)
С вероятностью 0.954 при большем объеме выборке эти доли будут находиться в заданных интервалах.