Способ подстановки

• Выражаю одну переменную через другую из более простого уравнения.

• Подставляю полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение.

• Решаю полученное уравнение.

• Подставляю найденные корни в выражение первого шага.

• Записываю ответ в виде пары (х; у).

П ример. х – 2 у = 5

2 х + у = 9

х = 2 у + 5

2 (2 у + 5) + у = 9

4 у + 10 + у = 9

5 у + 10 = 9

5 у = - 10 + 9

5 у = - 1 : 5

у = - 0, 2

х = 2 * (- 0,2) + 5 = - 0, 4 + 5 = 4,6

Ответ: ( 4, 6 ; - 0,2)

Способ сложения

• Умножаю все члены уравнений на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

• Складываю почленно.

• Решаю полученное уравнение.

• Подставляю найденные корни в более простое исходное уравнение.

• Решаю полученное уравнение.

• З аписываю ответ в виде пары (х; у).

Пример. 2 х – 3 у = 12 * 2

3х + 2 у = 6 * 3

4 х – 6 у = 24

9 х + 6 у = 18

13 х = 42 : 13

х = 3

3 * 3 + 2 у = 6

2 у = 6 – 9

2 у = - 3 : 2

у = - *

у = -

у = - 1

Ответ: (3 ; - 1 ).

Квадратные уравнения

а x ² + b x + c = 0,

D = b ²- 4 a c, D > 0, х ₁ = х ₂ =

D < 0, корней нет

D = 0, х ₁ = х ₂ = -

При b = 2k D₁= k ² – a c, х _1,2 =

Теорема Виета. x₁ x₂ = x₁ + x₂ = -

Пример. х ² + 4 x – 5 = 0

1 способ:

D = b ² – 4 a c = 16 - 4*1*(-5) = 36

х₁= x ₂=

2 способ:

x₁ x₂ = -5 x₁ + x₂ = - 4

x ₁ = - 5 x ₂ = 1

3 способ:

D ₁ = k ² – a c = 22 - 1*(-5) = 9

х ₁= x ₂=

Ответ: -5 ; 1.

Сложение отрицательных чисел

- 3 + (- 8 ) = - 11

• Нахожу модули слагаемых.

• Складываю модули.

• Ставлю знак «-».

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и поставить знак «-».

Сложение чисел с разными знаками

3 + (- 8 ) = - 5

• Нахожу модули слагаемых.

• Сравниваю модули.

• Из большего модуля вычитаю меньший.

• Ставлю знак большего модуля.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и поставить знак большего модуля.

Алгоритм построения параболы

y = a x ² + b x + c

• Нахожу координаты вершины x _в = -

• Подставляю x _в в формулу

y = a x ² + b x + c, вычисляю y _в

• Отмечаю вершину и провожу через нее ось симметрии

• Составляю таблицу значений

• Отмечаю полученные точки и точки, им симметричные

• Провожу через отмеченные точки плавную кривую

Пример. Построить график функции y = x ² - 2 x + 3.

а = 1, b = - 2, c = 3,

x _в = - = - 1 , y _в = (- 1 ) ² – 2 ( - 1) + 3 = 6

( - 1; 6) – вершина.

Таблицу значений составлять не нужно, так как а = 1, т.е. это обычная парабола.

Алгоритм решения квадратного неравенства

• Нахожу нули квадратичной функции.

• Отмечаю их на координатной прямой.

а > 0, ветви вверх

• Р исую параболу:

а < 0, ветви вниз.

• Расставляю знаки: + выше ох, - ниже ох.

• Пишу ответ f (x) > 0 +, f (x) < 0 - .

• Если D < 0, то f (x) > 0 при а > 0

f (x) < 0 при а < 0.

Пример. х ² + 4 x – 5 > 0

х ² + 4 x – 5 = 0

x ₁ x ₂ = -5 x ₁ + x ₂ = - 4

x ₁ = - 5 x ₂ = 1

+ - +

х

- 5 1

Ответ: ( -∞; - 5 ) U ( 1; + ∞).