Типы логарифмических уравнений

• Р ешаемые потенцированием

f (x) = g (x)

log _а f (x) = log_а g (x) g (x) > 0

f (x) > 0

l og ₃ (2х - 3) = log ₃ (х+ 3)

2х - 3 = х+ 3

2х - 3 > 0

х+ 3> 0

2х – х = 3 + 3

х = 6

П роверка: 2· 6 - 3 > 0 (и)

6+ 3> 0(и)

Ответ: 6.

Квадратные

a log_а ² f (x) + b log_а f (x) + c = 0

log ₂ ² x + 2 log ₂ x - 3 = 0

log ₂ x = y

y ² + 2 y - 3 = 0

y₁= - 3, log ₂ x =- 3, x = 2 ^{– 3}= 1/ 8

y₂= 1, log ₂ x = 1, x = 2 ¹= 2.

Ответ: 2 и 1/ 8.

• Решаемые c помощью свойств логарифмов

log ₃ (х - 4) + log ₃ (х+ 4) = 2

log ₃ (х - 4) (х+ 4) = 0

х - 4 > 0

х+ 4 > 0

(х - 4) (х+ 4) = 3²

х ² – 16 = 9

х₁= - 5, х₂= 5

П роверка: - 5 - 4 > 0 (л)

- 5 + 4 > 0 (л)

5 - 4 > 0 (л)

5+ 4 > 0 (л)

Ответ: 5.

• Решаемые логарифмированием обеих частей уравнения

х^log5x = 625 ОДЗ: х > 0

log₅ x ^log5x = log₅ 625

log₅ x ∙ log₅ x = log₅ 625

log₅² x = 4

log₅ x = 2 log₅ x = - 2

х = 25 є ОДЗ х = 1/25 є ОДЗ

Ответ: 1/25, 25

Алгоритм решения логарифмических неравенств потенцированием

• Привожу обе части неравенства к логарифму по одному основанию

log_а f (x) > log_а g (x)

• Определяю характер монотонности данной функции по основанию а

• П ерехожу к системе

f (x) > g (x) f (x) < g (x)

g (x) > 0 или g (x) > 0

f (x) > 0 при а > 1 f (x) >0 при 0 < а < 1

• Решаю ее

l og ₃ (2х - 3) > log ₃ (х+ 3)

2х - 3 > х+ 3

2х - 3 > 0

х+ 3> 0

2 х – х > 3 + 3

2х > 3

х > - 3

х > 1, 5

х > - 3

х > 6

Ответ: ( 6; + ∞).

Уравнения с модулями

1. Найти нули модулей.

2. Отметить нули на координатной прямой.

3. Решить уравнение на каждом из промежутков с помощью системы.

4. Написать ответ.

|x| = |x-3| + 4 - x

|x| =0, |x -3| = 0

Нули модулей: 0;3

1сл.	2сл.	3сл.
x <0 -x=3-x+4-x x=7, 7<0 (л) Решений нет	0≤x≤3 x=-x+3+4-x x=7/3 ,0≤7/3≤3 (и) 7/3 - корень	x>3 x=x-3+4-x x=1 ,1>3 (л) Решений нет

Ответ: 7/3.

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения

• sin x = m x = (- 1) ⁿ arcsin m + n, n Z

• cos x = m x = ± arccos m + 2 n, n Z

• tg x = m x = arctg m + n, n Z

Квадратные тригонометрические уравнения:

a cos² х + b cos x + c =0,

a sin² x + b sin x + c = 0,

a tg² x+ b tg x + c= 0

• 2 sin² x – 5 sin x + 2= 0

• 4 cos² x + 9 sin x + 5 = 0

cos² x = 1- sin² x

4 (1- sin² x ) + 9 sin x + 5 = 0

• tg² x – 6 tg x + 5 = 0

Однородные уравнения I степени:

a sin x ± b cos x = 0

2 sin x – 3 cos x = 0

Такие примеры решаем при помощи деления всех членов уравнения на cos x, получается простейшее уравнение, которое мы умеем решать:

2 tg x – 3 = 0

tg x = 1,5

Ответ: 1, 5 .

Однородные уравнения II степени:

a sin² x ± b sinx cosx ± cos² x =0

sin² x – 3 sinx cosx + 2 cos² x =0

Такие уравнения решаются при помощи деления всех членов уравнения на cos² x, т.к. присутствует слагаемое a sin² x, в результате получается тригонометрическое квадратное уравнение:

tg² x – 3 tg x + 2 = 0

Данное уравнение решается введением новой переменной.

Метод вспомогательного угла

4 sin x + 3 cos x = 5

√ a ² + b ² ; √ 4 ² + 3 ² = 5

Разделим обе части уравнения на 5, получим равносильное данному 4/5 sin x + 3/5 cos x = 1

Пусть φ – угол, такой, что cos φ = 4/5, sin φ = 3/5; φ = arccos 4/5

sin ( x + φ ) = 1; от куда x + φ = π/2 + 2 πn

x = π/2 - arccos 4/5 + 2 πn, n є Z

Ответ: x = π/2 - arccos 4/5 + 2 πn, n є Z

Разложение на множители

cos 3x + cos 5x = 0

sin 3x + sin 5x = 0

cos 3x + sin 5x = 0

Уравнения, решающиеся с помощью формул

• sin 5xcos 3x+ cos 5xsin 3x =1

sin (x + y) = sin x cos y + cos xsin y

• sin 2x – 2 cos x = 0

sin 2x = 2 sin x cos x

Симметричные уравнения

2 ( sin x + cos x ) + sin 2 x + 1 = 0

sin x + cos x = t , sin 2 x = t² – 1

t² + 2 t = 0 ; t₁ = 0 , t₂ = - 2

Уравнение sin x + cos x = - 2 – не имеет корней

sin x + cos x = 0

х = - π/4 + πn , n є Z

Ответ: х = - π/4 + πn , n є Z

Равенство одноименных функций

sin 3 x = sin 5 x

3 х = 5 х + 2 π n ; n є Z 3 х = π - 5 х + 2 π n ; n є Z

2 x = 2 π n | : ( - 2 ) 8 х = π + 2 π n

x = - π n x = - π / 8 + π n / 4

cos 4 x = cos 7 x

4 x = 7 x + 2 π n 4 x = - 7 x + 2 π n

3 x = 2 π n 11 x = 2 π n

x = - 2 / 3 π n x = 2 π n / 11

У равнения с обратными тригонометрическими функциями

arccos(2x - 3) =

cos(arccos(2x - 3) ) = cos

2x – 3 = 0,5

x = 1,75

Oтвет: 1,75

14