Лекция 5 Моделирование неравновесных химических процессов
Смесь газов из N компонент:
N2, O2, N, O, NO – воздух,
температура
возбуждения вращательных степеней
свободы
температура
возбуждения колебательных степеней
свободы
температура
начала химических реакций диссоциации
- реакция диссоциации, М – некоторый
элемент.
температура
ионизации
По мере возбуждения новых степеней
свободы, начала новых процессов, они
забирают соответствующую энергию от
поступательных степеней свободы. Так,
на М=20, за ударной волной температура
(вместо полной
)
за счет «поглощения» энергии вращения,
колебания и диссоциации (для ионизации
не хватает энергии).
Основные химические реакции в воздухе:
- реакции диссоциации
- реакции обмена
2.Уравнение состояния для смеси
- парциальное давление
-
полное давление (закон Дальтона)
- массовая концентрация
- молярная масса i-ой
компоненты
-
молярная масса всей смеси.
3. Изменение концентраций компонент
,
где
- диффузионный поток:
-
средняя массовая скорость,
-
изменения числовой плотности i-ой
компоненты смеси в к-ой химической
реакции,
,
-
числовая концентрация.
В воздухе к=17, т.е. всего возможно 17 химических реакций, из них 15 – диссоциации и 2 – обмена.
Закон действующих масс:
,
,
-
константа скорости прямой реакции,
- константа скорости обратной реакции,
- стехиометрические коэффициенты.
,
- константа равновесия.
,
-
газодинамическое время,
-
химическое время
« - химически замороженное течение,
~ - существенно неравновесный химический процесс,
» - химически равновесное течение.
В химически равновесном течении
Закон Аррениуса для скорости прямой
реакции
4.
,
Таким образом, полная система уравнений:
- 3+m уравнений
е – внутренняя энергия,
- полная энтальпия,
- статическая энтальпия
- статическая энтальпия одноатомного
газа,
- энтальпия образования i-ой
компоненты
- статическая энтальпия двухатомной
молекулы
- вращательная энергия
- колебательная энергия (гармонический
осциллятор)
тензор скоростей деформации
,
- динамический коэффициент вязкости
- диффузионный поток,
-
коэффициент диффузионного потока.
;
0,5 - число Шмидта;
- полный тепловой поток
,
- коэффициент каталитичности стенки
=0 - поверхность нейтральна (некаталитическая) к компоненте i в
смеси газов
= - на поверхности происходит полная рекомбинация
компоненты i (обычно N или О),
около стенки.
При рекомбинации выделяется энергия. Разница температур каталитической и некаталитической поверхностей:
(max на спуске с орбиты)
Двухпараметрическая модель турбулентности.
Замыкание уравнений Рейнольдса.
;
- средняя скорость;
-
пульсационная составляющая
Уравнения Рейнольдса описывают стационарную турбулентность.
- допущение Прандтля
- турбулентная вязкость,
-
характерная скорость,
-
характерный масштаб,
Зависимость
может быть:
алгебраической (простейшие модели),
дифференциальной
источники
,
,
,
- пристеночная функция,
-
расстояние от стенки
генерация↕ ↕гашение турбул. пульсаций в свободном потоке
- квадратичная форма тензора скоростей
деформации
;
;
;
- эмпирические коэффициенты
Граничные условия
На внешней границе области:
,
иначе тривиальное решение)
в натуре, свободная
турбулентность
в аэродинамической трубе (АДТ)
размер вихря в АДТ
На поверхности тела:
ЛЕКЦИЯ 6
Численные методы решения дифференциальных уравнений
- скалярный случай задачи Коши
Разностный аналог задачи:
,
- шаг интегрирования
Определение. Условие аппроксимации
Если функция
,
То говорят, что существует аппроксимация функции f порядка р>0
Определение. Пусть
- начальные условия.
Если
с>0:
,
то разностная схема называется
устойчивой.
Определение. Разностная задача сходится к исходной дифференциальной задаче, если
при 0.
Определение. Система
называется жесткой, если
,
где - собственные
значения оператора дифференциальной системы.
ПРИМЕР.
1)
,
(решение затухает)
,
,
Если
,
то возмущения затухают и разностная
схема устойчива.
,
(
-
корректность задачи )
,
- условие устойчивости.
Таким образом, условие устойчивости
системы:
,
Пусть
- жесткая система уравнений.
- собственное значение «быстрого»
процесса
- собственное значение «медленного»
процесса.
Медленный процесс приходится тоже интегрировать мелким шагом.
2) Неявная разностная схема:
,
,
,
можно интегрировать с любым шагом
по времени, но с большим шагом
можно «не заметить» реальные особенности процесса.
,
,
,
Точность разностной схемы (погрешность аппроксимации):
,
1)
главный член погрешности аппроксимации
2)
- линеаризация,
Cхема Рунге-Кутта
- двухшаговая схема Рунге-Кутта
,
)
Таким образом, схема 2-го порядка аппроксимации.
ЛЕКЦИЯ 7
- задача Коши
;
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- оператор
,
L – дифференциальный
оператор, действующий на u;
l- оператор начального
условия
- разностная задача
Определение. Если
,
,
то разностная задача
аппроксимирует исходную задачу с порядком р.
Определение. Если
:
h:
,
то разностная схема устойчива.
Определение. Если
при h 0,
то решение дискретной задачи сходится
к
решению исходной (непрерывной) задачи.
Теорема Лакса (Lax), Если L – линейный оператор, то из аппроксимации и устойчивости
схемы следует ее сходимость.
Доказательство:
,
Если разностный оператор Lh линейный, то условие устойчивости:
,
т.е. при h 0
.
Конечно-разностный метод решения.
функция должна быть непрерывной
1)
:
Разложим в ряд Тейлора
и
- cхема
центральных разностей.
2)
- односторонняя разностная схема.
_____________________
Таким образом, аппроксимация II
производной:
Неравномерные расчетные сетки
1)
- переходим к другой переменной, чтобы
получить «сгущение» сетки у
поверхности
2) Строим аппроксимацию сразу на неравномерной сетке:
Обозначения :
Главный член погрешности аппроксимации:
Определение. Если
,
то расчетная сетка называется почти
равномерной
и погрешность аппроксимации
.
Определение. Если
,
то расчетная сетка называется существенно
неравномерной
и погрешность аппроксимации
.
Схемы повышенного порядка (>2) аппроксимации на компактном шаблоне.
- расширение шаблона для повышения
точности.
,
,
-
4-ый порядок аппроксимации
Метод конечного объема или интегро-интерполяционный
Применяется, например, когда функция разрывна и метод конечных разностей неприменим
Рассмотрим самосопряженный оператор.
W – непрерывная функция, поток
,
,
,
теорема о среднем
,
Таким образом,
,
если q(x)
непрерывна.
Порядок аппроксимации на примере K(x)=K=const, q(x)=q=const:
,
Замечание:
Поток
должен быть одинаков для узлов j
и j+1, иначе
при расчете не выполнится условие сохранения массы:
j:
+
j+1:
Таким образом, поток на грани ячейки должен считаться одинаково для левой и правой ячеек.
Метод конечного элемента.
,
- «пробные» функции.
j=1,…N-1
наиболее часто используемая «пробная»
функция.
1)
0
2)
,
В результате получим:
|
,
В методе конечного элемента получается непрерывное решение.
ЛЕКЦИЯ 8
Свойство монотонности разностных схем.
- модельное уравнение
- оператор уравнения
1) Покажем, что L не является самосопряженным
если
,
то оператор называется самосопряженным.
=0 =0
=0
Таким образом,
,
т.е. оператор L не
является самосопряженным.
=0 =0
2) Ищем решение в виде
:
- собственные значения L.
Граничные условия:
При 0 изменение
функции и от 0 до 1 происходит во все
меньшей и меньшей области – пограничный слой.
3) Численное решение.
определяет схему аппроксимации 1-ой
производной
- правая разность,
- центральная разность и т.д.
,
- собственное
значение численного (разностного)
оператора
,
где
Подставим в разностное уравнение (*)
и разделим на
:
- собственные значения разностного и
дифференциального операторов совпадают
Если
- комплексное, то появляется осциллирующее
решение.
Определение. Разностная схема называется монотонной, если решение неосциллирует, т.е. собственные значения действительные.
- сеточное число Рейнольдса.
,
если
,
- cхема правых разностей
всегда монотонна
Таким образом, решение:
Граничные условия:
Пример
Рассмотрим схему правых разностей:
,
главный член погрешности аппроксимации, 1-ый порядок.
- схемная вязкость
Для правильного описывания физической
вязкости:
Таким образом, схема правых разностей обладает большой схемной вязкостью.
ЛЕКЦИЯ 9
Определение условия монотонности по принципу максимума.
;
,
,
(1)
(2)
Пусть
,
тогда по принципу максимума
,
т.к. экстремум может достигаться только
на концах отрезка
По условию,
Если а и с >0, то и b=a+c>0
Критерий диагонального доминирования:
Критерий необходим для решения линейной системы уравнений прямым методом Гаусса, а особенно итерационным.
а>0, c>0
Таким образом, условие монотонности схемы приводит к выполнению критерия диагонального доминирования.
Оценим минимальное число точек, необходимых для разрешения погранслоя.
,
,
Если N>>1
Толщина погранслоя – это расстояние от поверхности, на котором скорость составляет 99 от скорости внешнего потока,
т.е.
В нашем случае
Þ
Þ
Þ
Выберем
Þ
,
Þ
- минимальное число узлов, необходимое
для разрешения пограничного слоя.
- аналитическое решение,
;
;
При
(схема
2-го порядка точности) ряды для
аналитического и численного решений
совпадают в первых трех членах. Таким
образом, 3-я производная (член
)
для аналитического и численного решений
не совпадает даже при
.
Двухточечная схема в решении краевых задач.
Þ
(так же схема выглядит для неравномерной сетки)
Ищем решение в виде:
Þ
Система имеет нетривиальное решение, если det=0
Þ
Þ
Þ собственные числа
действительные, отсутствуют осцилляции.
Общий случай краевой задачи.
,
N×M – зависимых переменных (неизвестных) дискретной задачи,
(N-1)M+M= N×M – число алгебраических уравнений.
аппроксимационная система самосогласованна.
Метод Ньютона.
Граничные условия:
Таким образом, получаем систему:
Матрица системы:
Перенумерацией можно построить матрицу системы как трехдиагональную блочную
,
Алгоритм векторной прогонки
,
,
- прогоночные коэффициенты
,
- критерий сходимости.
ЛЕКЦИЯ 10
Ричардсоновская интерполяция
(1)
точное решение, р – порядок аппроксимации
(2)
- решение на сетке с более грубым шагом
Таким образом, подняли порядок аппроксимации до (р+1), но точность повышается только в точках с шагом 2h, которые общие для обеих сеток.
Можно еще поднять точность аппроксимации:
Решение нелинейных сеточных уравнений
,
,
(1)
I метод: используют
явную схему, т.е. производные
и
берутся
на n-ом временном слое, тогда в уравнении (1) *=n.
Явная схема просто разрешается, но имеет условную сходимость.
II метод: используют неявную схему, в уравнении (1) *=n+1.
1) Линеаризуем разностное неявное уравнение:
Это эвристический, бездоказательный способ. Его также называют факторизацией или расщеплением переменных.
2) Способ простой итерации:
,
,
Пример.
Простые итерации сходятся очень медленно.
3) Способ Ньютона.
Пример.
,
- корень.
,
Таким образом, метод Ньютона имеет 2-й порядок аппроксимации.
4) Модифицированный метод Ньютона.
,
;
-
обычный метод Ньютона.
уменьшает забросы функции при итерациях,
но ухудшает сходимость.
выбирают
так, чтобы при подходе к корню
:
при
.