5.3.1. Метод прогонки

Метод прогонки является самым экономичным методом для решения систем уравнений подобных (5.13).

Представим (5.13) в следующем формализованном виде:

при (5.14)

где ; ; ; ; .

Здесь индексы (n+1) опущены для простоты записи.

В уравнении (5.14) только три неизвестные: , , . Это определяет специфический вид матрицы связанных коэффициентов в системе уравнений (5.14). В матричной форме система уравнений имеет вид

,

где для N равного, например, 5

; ; .

Матрица коэффициентов , (-B_i) и C_i носит название разреженной 3-х диагональной, поскольку она заполнена нулями кроме 3-х главных диагоналей. В этом, кстати, ограниченность метода прогонки: он может применяться при решении систем уравнений только с 3-х диагональной матрицей связанных коэффициентов.

Теперь предположим, что между температурами в соседних узлах существует линейная зависимость

, (5.15)

где и – некоторые коэффициенты.

Подставив (5.15) в (5.14), получим уравнение с двумя неизвестными и

. (5.16)

Отсюда в виде линейной зависимости легко выражается через

, (5.17)

т.е. предположение (5.15) подтвердилось.

Из аналогии (5.17) и (5.15) можно найти коэффициенты и :

; (5.18)

(5.19)

Коэффициенты a_i и b_i называются прогоночными коэффициентами и они находятся во всех узлах разностной сетки по рекуррентным формулам (5.18) и (5.19).

Порядок решения систем уравнений, подобных (5.14), следующий: сначала определяются из граничных условий коэффициенты a₁ и b₁. Затем по выражениям (5.18) и (5.19) коэффициенты a₂, b₂; a₃, b₃ и т.д. до a_N-1, b_N-1. Эта часть алгоритма называется прямой прогонкой. Далее из граничных условий на противоположной границе находится температура t_N и по формуле (5.15) обратной прогонкой последовательно определяются температуры в узлах сетки от (N-1) до 1:

; ; …; ; … .

Преимущества метода прогонки перед другими методами – экономичность. Это означает, что при расчетах по этому методу требуется выполнить минимальное число арифметических операций. Например, по методу Гаусса число операций , а по методу прогонки . Так, если число узлов по сечению тела N = 100, то по методу Гаусса получим порядка 1 000 000 арифметических действий, а по методу прогонки – всего 1 000.

5.4. Погрешность разностной аппроксимации.

Расчеты температурных полей в термически массивных телах методом конечных разностей носят приближенный характер. Поэтому любой расчет должен сопровождаться оценкой погрешности и оценкой истинного значения температуры.

Покажем расчет погрешности для наиболее распространенных разностных схем, т.е. для схем, имеющих 2-й порядок точности по пространственной координате и 1-й порядок точности по времени. В этом случае справедливо соотношение для сходящихся схем

. (5.20)

С другой стороны,

, (5.21)

где и – приближенное и точное значения температуры в точке с координатами i, n.

Если приближенное решение получить на разностной сетке с шагами и , то определения температуры в точке с координатами i, n уменьшится в 4 раза:

. (5.22)

Подставим из (5.22) в (5.21). Получим

. (5.23)

Отсюда легко выражается в явном виде :

. (5.24)

Описанный подход оценки погрешности представляет из себя метод Рунге. Особенность метода: нужно провести два расчета: один при выбранных шагах по пространству и времени – , а второй при и – .

Если в конкретных условиях нельзя выполнить расчеты при уменьшенных шагах, то оценку погрешности можно определить при увеличенных шагах по следующей формуле:

, (5.25)

которая выводится аналогично (5.24). Здесь – решение, полученное на сетке с шагами и .

Небольшое последнее замечание: наименьшая погрешность аппрок­симации разностных схем типа (5.10) и (5.13) достигается при [10]. Это надо учитывать при расчетах в области .