9 Вычислить производную функции, заданной параметрически, при .

№
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20

10 Вычислить для функции , удовлетворяющий данному уравнению .

№		№
10.1		10.11
10.2		10.12
10.3		10.13
10.4		10.14
10.5		10.15
10.6		10.16
10.7		10.17
10.8		10.18
10.9		10.19
10.10		10.20

Решение типовых примеров

1.20 Докажите непосредственно по определению, что функция дифференцируема в точке . Запишите диффе­ренциал функции в виде :

Решение. Найдём приращение функции в точке :

.

Заметим, что и, следовательно, . Поскольку нам удалось представить приращение функции в виде , то дифференцируема в точке . При этом .

2.20 Докажите, что функция непрерывна в точке и не дифференцируема (не имеет производной) в этой точке.

Решение. Убедимся, что односторонние пределы функции в точке равны . Это доказывает непрерывность функции в точке :

Убедимся, что односторонние пределы отношения не равны между собой :

.

.

Это доказывает не существует, то есть функция не имеет производной (не дифференцируема) в точке .

3.20 Вычислить производные данных функций

а) в)

б) г) .

Решение

а) Так как , то

;

б) Воспользуемся формулой для производной произведения:

в)

г) . Воспользуемся формулой производной сложной функции.

Так как ─ постоянная, то . Тогда

4.20 Пользуясь правилами дифференцирования, вычислить производ­ную функции

.

Решение Воспользуемся формулой производной частного:

5.20 Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вы­числить производную функции

.

Решение

.

6.20 Используя метод логарифмического дифференцирования, найти производную функции

Решение Заметим, что

Продифференцируем обе части равенства по , учитывая, что . По­лучим

Теперь

.

7.20 Найти производную показательно-степенной функции, используя ме­тод логарифмического дифференцирования

Решение

I способ ,

= .

Теперь .

II способ Воспользуемся основным логарифмическим тождеством.

Тогда Теперь

9.20 Вычислить производную функции, заданной параметрически:

, .

Решение Так как

,

,

то

10.20 Вычислить для функции , удовлетворяющий уравнению если .

Решение Продифференцируем обе части данного равенства, учитывая, что есть функция от :

Выразим из этого равенства :

,

.

Для нахождения , подставим в данное уравнение :

Так как слева – монотонная функция, то уравнение может иметь не более одного решения. Очевидно, это

Тогда

Индивидуальное задание 2

Производные и дифференциалы высших порядков

1 Для данной функции , заданной в естественной области опреде­ления, найти производную второго порядка. Записать .

1.1		1.11
1.2		1.12
1.3		1.13
1.4		1.14
1.5		1.15
1.6		1.16
1.7		1.17
1.8		1.18
1.9		1.19
1.10		1.20

2 Проверить, удовлетворяет ли функция , заданная в естественной области определения, данному уравнению.

2.1		2.11
2.2		2.12
2.3		2.13
2.4		2.14
2.5		2.15
2.6		2.16
2.7		2.17
2.8		2.18
2.9		2.19
2.10		2.20

3 Найти производную n-го порядка для функции, заданной на естествен­ной области определения.

№		№		№		№
3.1		3.6		3.11		3.16
3.2		3.7		3.12		3.17
3.3		3.8		3.13		3.18
3.4		3.9		3.14		3.19
3.5		3.10		3.15		3.20