4 Найти производную второго порядка от функции заданной параметрически.

№
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20

5 С помощью правила Лопиталя вычислить следующие пределы:

№	а)	б)
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20

6 Установить вид неопределенности в данных пределах. Преобразовав имеющиеся неопределенности к виду или , вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

№	а)	б)
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20

Решение типовых примеров

1.20 Для данной функции , заданной в естественной области определения, найти производную второго порядка. Записать .

Решение. Найдём сначала :

.

Теперь

.

.

2.20 Проверить, удовлетворяет ли данная функция, заданная в естест­вен­ной области определения, данному уравнению:

, .

Решение. Найдём . Теперь

.

Подставим и в данное уравнение:

.

Получили верное равенство. Значит, данная функция удовлетворяет дан­ному уравнению.

3.20 Найти производную n-го порядка для функции , заданной на естественной области определения.

Решение. Для найдём несколько производных:

, , , , …

Заметим, что

,

,

,

.

Теперь можно заметить, что (более строго это можно доказать, используя метод математической индукции).

4.20 Найти производную второго порядка от функции задан­ной параметрически:

.

Решение. Равенства задают параметрически функ­цию , так как при функция монотонно возрастает. Согласно теореме о производной функции, заданной параметрически, дифференцируема.

Найдём сначала , . Тогда .

Для нахождения найдём сначала

.

Теперь .

Замечание 1. Для нахождения можно было воспользоваться форму­лой:

.

Замечание 2. В данном случаем из равенства логично выразить явно , тогда , и производные можно вычислить непосредст­венно.

5.20 С помощью правила Лопиталя вычислить следующие пределы:

а) ; б) .

Решение. а)

.

б)

.

6.20 Установить вид неопределенности в данных пределах. Преобразуя имеющиеся неопределенности к виду или , вычислить пределы с помощью правила Лопиталя.

а) ; б) .

Решение а) Имеем неопределенность вида . Преобразуем ее к виду  . Получим

Продолжая этот процесс далее, применив правило Лопиталя ещё 7 раз, получим

б) Имеем неопределённость вида . Преобразуем её к виду и далее используем асимптотическую формулу при . Получим

.

Так как ,

,

то исходный предел равен .

24