Степени и корни

Определение: Степенью n числа а ( ) называется произведение . Обозначается, а – основание степени, n – показатель степени.

Свойства степеней:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. а º = 1

7. ,

8. , а > 0

9. 

10. 

Показательные уравнения

Определение: Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.

При решении показательных уравнений вида а = a (a > 0, a ≠ 1) используется следующее свойство а = a <=> f (x) = g (x)

1. Метод уравнивания оснований

Примеры:

Решите уравнение:

1)

Ответ: х = 4

2)

Ответ:

3)

;

Ответ: ;

Упражнения:

Решите уравнения:

2. Вынесение за скобки общего множителя:

Пример: Решите уравнение:

Вынесем за скобки число 2 в наименьшей степени, т. е.

Ответ: х = 5

Простейшие показательные неравенства

вида а > a , а < a

При решении простейших показательных уравнений вида а > a , а < a ,

(а > 0, а ≠ 1) используются следующие свойства:

1. а > a , а > 1 => f (x) > g (x)

2. а a , 0 < а < 1 => f (x) < g (x)

Примеры:

Решить неравенство:

1. 2 < 64

2 < 2

т. к. а = 2 > 1, то х < 6

6

Ответ: х (-∞; 6)

3. 

т. к. 0 < а = < 1, то х > 3

Ответ: х (3; + ∞)

Логарифмы и их свойства

Определение: Логарифмом положительного числа в по основанию а (где а > 0, а ≠ 1) называется показатель степени, в которую надо возвести а , чтобы получить в.

Обозначается log_а в

Если основание логарифма число 10,то логарифм называется десятичным и обозначается lоg в lоg в = log₁₀

Из определения логарифма получаем основное логарифмическое тождество.

А^log_а ^в = в, где в>0, а ≠ 1

Примеры:

Вычислить:

1)log₂₅ 5

Пусть Log₂₅ 5 =х, тогда по определению логарифма.

25^х =5

5^2х = 5¹

2х=1

х=

Ответ: х =

Основные свойства логарифмов

1. log_а 1 = 0

2. log_а а = 1

3. log_а (ху) = log_а х + log_а у

4. log_{а =} log_а х - log_а у

5. log_а х^р = р log_а х

Формулы перехода к новому основанию

log_а х =

log_а в =

Примеры:

1. Вычислить без таблиц и вычислительных инструментов.

а) log₁₂4+log₁₂3 = log₁₂ (4*3) = log₁₂ 12=1

Применили свойства 3) и 2)

_б) log₂7 - log₂

Применили свойства 4),5) и 2)

в)

Применили свойства 5.

Простейшие логарифмические уравнения

Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма или в основании логарифма называются логарифмическими.

Примеры:

1.

По определению логарифма:

Ответ:

2.

Возведем обе части уравнения в степень, обратную показателю степени х;

Ответ:

Простейшие логарифмические неравенства

Определение: Неравенства, содержащие переменную только под знаком логарифма, называются простейшими логарифмическими неравенствами. При решении логарифмических неравенств следует учитывать:

1. Область определения логарифмической функции .

2. Убывающей или возрастающей является логарифмическая функция.

Примеры:

Решить неравенство:

1.

Представим правую часть неравенства, то есть число 2 как ,то есть

Тогда,

Т.к. выражение, стоящее под знаком логарифма положительно,

то

Т.к. функция возрастающая (основание 3>1),то

Имеем систему неравенств.

4 13

21