1.2. Свойства определителей

1⁰. Величина определителя не меняется при замене строк столбцами. (Операция транспонирования.)

= a d - b c ; = a d - b c

2⁰. Перестановка местами двух любых строк (столбцов) меняет знак определителя

= b c - a d = - ( a d - b c ) = -

3⁰. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

= a b - a b = 0

4⁰. Общий множитель элементов одной строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

= m a d - m b c = m (a d - b c) = m

5⁰. Прибавление элементов одной строки, умноженных на произвольное число, к элементам другой строки определителя не меняет

= (a+b) d - (c+d) b = +

После такой процедуры определитель всегда можно представить как сумму исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми строчками, который равен нулю, согласно свойства 3⁰.

Теорема разложения Всякий определитель можно представить как сумму элементов любой строки или столбца, умноженных на соответствующие алгебраические дополнения

det A = A_{i k} ( 6 )

Пример. Разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки

= a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃ = a₁₁ - a₁₂ + a₁₃

Чем больше нулевых элементов в строке разложения, тем проще полученное выражение. Увеличить количество нулей можно путем преобразования матрицы, складывая строки или столбцы (свойство 5⁰) .

Пример.

= = = a₁₁ A₁₁ - 0 A₁₂+0 A₁₃=1(-1)¹⁺¹ = 2

Здесь из элементов 2-ого столбца вычли элементы 1-ого и из элементов 3-его столбца вычли удвоенные значения элементов 1-ого столбца. В результате в 1-ой строке образовались два нуля.

С помощью такой процедуры всякий определитель можно представить в треугольной или ступенчатой форме, когда все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

  =

= a₃₁A₃₁+a₃₂A₃₂+a₃₃A₃₃ = -22A₃₃ = -22 (-1)³⁺³ = - 22

Определение. Собственными значениями матрицы А наз. её диагональные элементы (₁, ₂, . . . , _n ) после представления матрицы в треугольной или диагональной форме. Процедура вычисления собственных значений наз. диагонализацией матрицы.

Легко видеть, что det A равен произведению её собственных значений

det A = ( 7 )

т.е. после диагонализации матрицы её детерминант вычисляется тривиально.

В последнем примере ₁ = 1, ₂ = 1, ₃ = -22 , кратность собственного значения 1 равна двум. det A = 1 ∙ 1 ∙ (-22) = -22.

Матрицы весьма активно используются в инженерных и научных расчетах. Так, математический аппарат квантовой механики полностью построен на матрицах.