3.Модуль комплексного числа

 

Пусть дано комплексное число Z=A+B·i. СопряженнымсZ называется комплексное число A – B·i, которое обозначается />, т.е.

/>=/>=A – B·i.

Отметим, что />= A+B·i, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство />=Z.

Модулем комплексного числа Z=A+B·i   называется число/> иобозначается />, т.е.

 

Из формулы (1) следует, что  /> для любого комплексногочисла Z, причем  />=0 тогда и толькотогда, когда  Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:

 

4.Сложениеи умножение комплексных чисел

Суммойдвух комплексных чисел A+B·i  и C+D·iназывается комплексное число (A+C)+(B+D)·i, т.е.  (A+B·i)+(C+D·i)=(A+C)+(B+D)·i

Произведениемдвух комплексных чисел A+B·i  и C+D·i  называется комплексное число (A·C – B·D)+(A·D+B·C) ·i, т.е.     

(A+B·i)·(C+D·i)=(A·C– B·D)+(A·D+B·C)·i

Из формул вытекает, что сложение иумножение можно выполнять  по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложенияи умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел.Основные свойства:

Переместительное свойство:

        Z1<sup/>+Z2=Z2+Z1,  Z1·Z2=Z2·Z1

Сочетательное свойство:

        (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)

Распределительное свойство:

        Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3 

 

 

 

 

Геометрическое изображение суммыкомплексных чисел

Рисунок 3

Согласно определению сложения двух комплексных чисел,действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимаячасть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяютсякоординаты суммы векторов:

         Сумма двух векторов с координатами (A1;B1)и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1+A2;B1+B2). Поэтому, чтобы найти вектор,соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы,соответствующие комплексным числам  Z1 и Z2.

 

Пример1: Найти сумму и произведение комплексных чисел  Z1=2 – 3×i  и              

1 Способ:

Z2= –7 + 8×i.

Z1 + Z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)×i = –5 + 5×i

Z1×Z2 = (2 – 3×i)×(–7 + 8×i) = –14 + 16×i + 21×i + 24 = 10 + 37×i

2 Способ:

5.Вычитаниеи деление комплексных чисел

 

Вычитание комплексных чисел – этооперация, обратная сложению: длялюбых комплексных чиселZ1и Z2 существует, и притом только одно,число Z, такое, что:

Z+ Z2=Z1

Если к обеим частям равенстваприбавить (–Z2) противоположное числу Z2:

Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда

Z = Z1<sub/>– Z2

Число Z=Z1+Z2 называют  разностью чиселZ1и Z2.

Деление вводится как операция,обратная умножению:

Z×Z2=Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Z=/>

Из этого уравнения  видно, что Z2/>0

      Геометрическое изображениеразности комплексных чисел 

                  

Рисунок 4

      Разности  Z2  – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствуетразность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль/> разности двух комплексныхчиселZ2 и Z1 по определению модуля есть длинавектора Z2  – Z1. Построим этот вектор, как суммувекторов Z2 и  (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двухкомплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которыесоответствуют этим числам.

Это важное геометрическоеистолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехомиспользовать простые геометрические факты.

Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i и Z2= 3 + 4·i.Найти разность Z2 – Z1и частное />

Z2– Z1<sub/>= (3 + 4·i) – (4+ 5·i) = –1 – i

/>=/>=/>