9.Квадратноеуравнение с комплексным неизвестным

 

Рассмотрим уравнение Z2 = a, где a – заданное действительное число,                Z – неизвестное.

Это уравнение:

1. имеет один корень, если a = 0.

2. имеет два действительных корня Z1,2=/>, если a > 0.

3. неимеет действительных корней, если a < 0. Но имеетдва комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i2×/>=i2×(/>)2. Тогда уравнение     Z2 = a запишется в виде:                         Z2 –i2×(/>)2= 0

т.е.                                         (Z – i×/>)(Z + i×/>) = 0

Следовательно, уравнение имеет двакорня: Z1,2= /> i×/> 

Введенное понятие корня из отрицательногочисла позволяет записать корни  любого квадратного уравнения с действительнымикоэффициентами

a×Z2 + b×Z + c = 0

По известной общей формуле

Z1,2=/>               (10)

Итак, при любых действительных a(a/>0), b, c корни уравнения можно находить поформуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

                  D = b2 – 4×a×c

 положителен, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 два действительных различных корня.Если D = 0, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 имеет два различных комплексныхкорня.

Комплексные корни квадратногоуравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойствадействительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z1,Z2 – корни квадратного уравнения a×Z2 + b×Z + c = 0, a/>0. Тогда справедливы свойства:

1. Теорема Виета:          Z1+ Z2 = –/>

                                        Z1×Z2 = />

2.   При всех комплексных  Z справедлива формула

a×Z2 + b×Z + c = a×(Z – Z1)×(Z – Z2)

 

 

Пример 5:

Z2 –6·Z + 10 = 0

Д = b2 – 4·a·c

Д = 62 – 4·10 = – 4    

– 4 = i2·4

Z1,2 = />

Z1,2 =/>

  Ответ: Z1= Z2 = 3 +i

Пример 6:

3·Z2  +2·Z+ 1 = 0

Д = b2 – 4·a·c

Д = 4 – 12 = – 8

Д = –1·8 = 8·i2

Z1,2 = /> = />

Z1,2 =/>

Z1 = –(/>)

Z2 = –/>

Ответ:  Z1 = Z2 = –/>

Пример 7:

Z4 –8·Z2 – 9 = 0

Z2 = t

t2 –8·t – 9 = 0

Д = b2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100

t1,2 = />= />= 4/>

t1 =9                           t2 = – 1

Z2 =9                          Z2 = – 1

Z1,2 =/>3                      Z = />

                                   Z3,4 =/>i

Ответ: Z1,2 =/>3,    Z3,4=/>i

Пример 8:

Z4 + 2·Z2– 15 = 0

Z2 = t

t2 + 2·t –15 = 0

Д = b2 – 4·a·c = 4 + 60 = 64

t1,2 = />= />= –1/>4

t1 = –5                      t2 = 3

Z2 = – 5                     Z2 = 3

Z2 = –1·5                  Z3,4 =/>/>  

Z2 = i2·5

Z1,2 =/>i/>

Ответ: Z1,2 =/>i/>,   Z3,4=/>/>

Пример 9:

Z2 = 24– 10·i

Пусть Z = X + Y·i

(X + Y·i)2 = X2 + 2·X·Y·i–Y2

X2 + 2·X·Y·i– Y2= 24 – 10·i

  (X2 – Y2)+ 2·X·Y·i=24 – 10·i

X2 – Y2 = 24

2·X·Y = – 10

            

Y = – />

X2 – />= 24

/> умножимна X2/>0

X4 – 24·X2– 25 = 0

X2 = t

t2 – 24·t –25 = 0

t1·t2= – 25

t1 + t2= 24

t1 =25        t2 = – 1

X2 =25       X2 = – 1 — нетрешений

X1,2 = />5

X1 =5                     X2 = – 5

Y1 = – />                Y2= />

Y1 = –1                  Y2 = 1

Тогда:

Z1,2 =/>(5 – i)

Ответ:  Z1,2 =/>(5 – i)

ЗАДАЧИ:

 

  1)/> <td/>

X2 + 3·X·Y + Y2 = 6

X + Y = 2

                            

 ( 2 – Y)2+ 3·( 2 – Y)·Y + Y2 = 6

4 – 4·Y + Y2+ 6·Y – 3·Y2 + Y2 = 6                              

–Y2 +2Y – 2 = 0 /–1

Y2 – 2Y+ 2 = 0

Д = b2 – 4·a·c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1·4 = 4·i2

Y1,2 = /> = /> = 1/> i

Y1 = 1–i                          Y2 = 1 + i

{

  X1 = 1 + i                        X2 = 1–i

Ответ:      {1 +i; 1–i}

                    {1–i; 1 + i}

 

  2)/> <td/>

Z3 + w5 = 0

Z2×/>4 = 111/>4 = 1

  

 

Z3 = –w5

Z2×/>12 = 1

                        

                            —Возведем в квадрат

                            —Возведем в куб

 

w10×/>12= 1

w10×/>10×/>2 = 1

(w×/>)10×/>2= 1

(/>)10×/>2 = 1

т.к. w = A + B×i

      /> = A – B×i

w×/> = (A + B×i)·( A – B×i) = A2 – (B×i)2= A2 + B2 = />2= w×/>

т.е.     />20·/>2= 1

Возьмем модуль от обоихчастей последнего уравнения:

/>20·/>2 = 1

/>22 = 1

т.е.

/> = 1

Тогда из уравнения получим

/>2 = 1

т.е.

/> = />1

w1 =1          w2 = –1

Подставим эти значения впервое уравнение данной системы и найдем численное значение Z

1)   w1 =1         

Z6 = 1

1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)),       kÎZ

Z = r×(cosj+ i×sinj)

r6×(cos6j+ i×sin6j) = cos(2pk) +i·sin(2pk),      kÎZ

r6= 1                   6j = 2pk

r =1                      j  = />,          kÎZ

Z = cos/>+ i·sin/>,           kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z1 = cos0+ i×sin0= 1 + 0 = 1

Z1 = 1

k = 1

Z2 = cos/> +i·sin/> = />i= />i

Z2 =/>i

k = 2

Z3 =cos/>+ i·sin/> = –/>i

Z3 = –/>i

k = 3

Z4 = cosp + i·sinp = –1+ 0 = –1

Z4 = –1

k = 4

Z5 = cos/> +i·sin/> = –/>i

Z5 = –/>i

k = 5

Z6 = cos/> +i·sin/> = />i

Z6 = />i

Ответ: Z1 = 1,   Z2=/>i,     Z3 = –/>i,    Z4 = –1,     Z5= –/>i,        Z6= />i

2)   w2 = –1

 Z6 = –1

–1 = 1·(cos(p + 2pk) +i·sin(p + 2pk)),   kÎZ

Пусть Z = r×(cosj+ i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r6×(cos6j+ i×sin6j) = cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk),   kÎZ

r6 =1              6j = p + 2pk

r = 1                j = />,         kÎZ

Z = cos(/>) + i·sin(/>),   kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z1 = cos/> +i·sin/> = />i

Z1=/>i

k = 1

Z2= cos(/>) + i·sin(/>) = 0 + i= i

Z2=i

k = 2

Z3= cos(/>) + i·sin(/>) =  –/>i

Z3= –/>i

k = 3

Z4= cos(/>) + i·sin(/>) =  –/>i

Z4= –/>i

k = 4

Z5= cos(/>) + i·sin(/>) =  0 – i= –i

Z5= – i

k = 5

Z6= cos(/>) +i·sin(/>)= />i

Z6=/>i

Ответ: Z1 =/>i ,     Z2 =i,   Z3= –/>i,     Z4 = –/>i,      Z5= – i,              Z6 =/>i

 

3)

Доказать, что сумма двухкомплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

1 СПОСОБ:

Пусть        Z1=X+Y×i       и       Z2=U+V×i