Стандартная задача

Рассмотрим задачу теории оптимального управления, в которой на величину накладываются определённые ограничения . Именно этот случай встречается в приложениях к задачам экономики. Кроме того, не будет предполагаться непрерывность функции . Потребуем только, чтобы она имела лишь конечное число точек разрыва, причём все они первого рода и в этих точках разрыва считаем функцию непрерывной слева. Кроме того, при рассмотрении задачи на считаем функцию непрерывной в концах этого отрезка. При этом мы считаем решением уравнения

непрерывную функцию , удовлетворяющую этому уравнению и, следовательно, дифференцируемую во всех точках непрерывности функции . В точках разрыва функции значения функции определяются из условий её непрерывности.

Итак, рассмотрим задачу найти

(9)

при условиях

, (10)

и одном из условий:

а)

б) (11)

в) конец не закреплён.

Пару назовём допустимым управляемым процессом (сокращённо: допустимой парой), если она удовлетворяет условиям (10) и (11).

Ставится задача среди всех допустимых процессов выбрать оптимальный, при котором достигается максимум в (9).

Определим функцию Понтрягина для поставленной задачи равенством:

причём значение параметра выбирается либо равным 0, либо равным 1.

Теорема. Если оптимальная пара, то существует непрерывная функция и число ,равное 0, либо равное 1 такие, что для всех пара при этом функция максимизирует функцию ), , т.е.

) ) (12)

для всех ,

причём

, (13)

а условиям (11) соответствую условия трансверсальности:

А)

Б) причём , если ; (14)

В) .

Замечания.

1. Обычно .

2. Если в условии (11б) поменять знак на противоположный, это приведёт к соответствующему изменению знака в (14Б).

3. Уравнение (13) выполняется только в точках непрерывности , а в точках её разрыва может не существовать.

4. Если выпуклое множество и если строго выпукла вверх по , то можно доказать, что оптимальное управление является непрерывной функцией.

Теорема. Пусть при условиях предыдущей теоремы выпуклое множество и для любого функция выпукла вверх, как функция от совокупности переменных . Тогда найденное решение является оптимальным.

Изложим обычную схему исследования. Сначала для любой тройки максимизируют по функцию Понтрягина. Часто бывает так, что этот максимум достигается в единственной точке . При подстановке

этой функции в уравнения (10) и (13) получаем систему

.

Из этой системы функции находятся в виде общих решений дифференциальных уравнений. Для определения содержащихся в них постоянных служат условия и условия трансверсальности. Обычно эта процедура даёт одну или несколько пар функций, среди которых находится оптимальное решение.

Рассмотрим очевидный пример: найти

Конец не закреплён.

Ясно, что чем больше то тем больше и исследуемый интеграл. Из уравнения следует, что чем больше тем больше Поэтому что и является оптимальным управлением. Далее,

Продемонстрируем на этом примере принцип максимума. Функция Понтрягина равна

.

Эта функция линейна, поэтому выпукла вверх. Уравнение (13) имеет вид:

,

а условие трансверсальности даёт Следовательно,

поэтому Так как максимизирует и

, находим Тогда и, так как ,

Выполнены все условия сформулированных теорем и, таким образом, оптимальное решение найдено.

Перейдём к более содержательному примеру – модели задачи оптимального потребления. Рассмотрим уравнение

(15)

и предположим, что максимизируется величина

,

где для всех

Это задача оптимального управления с фазовой переменной и с управлением . Предполагаем, что , поэтому .

Функция Понтрягина равна

( )

где , а сопряжённая функция. Пусть оптимальное управление. Тогда уравнение при принимает вид

, (16)

что означает, что сопряжённая переменная является дисконтированным значением предельной полезности. Кроме того,

Это уравнение с разделяющимися переменными и его решение имеет вид

. (17)

Более явную формулу решения удаётся получить в частных случаях. Пусть

. Тогда уравнение (17) даёт (16) сводится к равенству или . Значит, постоянная величина .Тогда(15) принимает вид

откуда

Ввиду(14Б) из следует, что (и , если ). Но равенство противоречит (16), левая часть этого равенства больше , т.к. для всех . Поэтому (т.е. оптимально использовать все средства). Это означает, что оптимальным управлением является

.

В следующем примере оптимальное управление представляет собой разрывную функцию.

Пример. Найти

Решение. Функция Понтрягина равна

и она выпукла вверх по совокупности переменных Оптимальное управление должно максимизировать по величину

В этой функции только член зависит от поэтому

(18)

Уравнение (13) принимает вид

. (19)

Заметим, что согласно (18). Так как для всех выполняется неравенство . Поэтому из (19 ) следует, что убывает при

Предположим, что существует решение, для которого Тогда и . В этом случае

Тогда так как т.е. , что противоречит условию Таким образом, для любого решения

Если то В этом случае

Тогда так как т.е. , что снова противоречит условию

Таким образом, меняет знак на отрезке . Поскольку эта функция непрерывна на рассматриваемом отрезке и убывает на нём, она обращается в ноль в единственной точке интервала , которую мы обозначим . При этом (напомним, что непрерывна слева) и .

Решая уравнение с условием находим а решая уравнение , находим Из непрерывности функции в точке следует, что , откуда

Из условия получаем

Таким образом,

.

Осталось найти Для этого используем уравнение

Интегрируя, находим

Из условия следует, что .

На интервале выполняется уравнение

Интегрируя, находим

Из непрерывности и условия следует, что .