Достаточные условия оптимальности
Теорема. (Мангасарян( Mangasarian))Рассмотрим задачу найти
при условиях
,
и одном из условий:
а)
б)
в) конец не закреплён.
Пусть
допустимая пара
удовлетворяет всем условиям принципа
максимума, т.е. (12),(13),(14),
интервал
действительной оси и для любого
функция
выпукла вверх, как функция от совокупности
переменных
. Тогда найденное решение
является
оптимальным. При этом в случае строгой
выпуклости оптимальное решение
является единственным.
Приведённая теорема не всегда применима, поскольку в ряде важных экономических задач функция Понтрягина не является выпуклой вверх.
Обозначим
.
Теорема.(
Эрроу(Arrow)).
Пусть
допустимая пара
удовлетворяет всем условиям принципа
максимума, т.е. (12),(13),(14),
интервал
действительной оси и для любого
функция
выпукла вверх, как функция от
. Тогда найденное решение
является
оптимальным.
§6. Задача с переменным временем окончания
Рассмотрим задачу найти
при условиях
,
и одном из условий:
а)
б)
в) конец не закреплён.
При
этом считаем, что время
не зафиксировано.
Теорема.
Пусть
допустимая пара, определённая на
которая является решением поставленной
задачи. Тогда на
выполняются
все условия принципа максимума и, кроме
того,
Отметим, что в этом случае выпуклость функции Понтрягина не является достаточным условием оптимальности.
Задача с текущим значением
Многие модели в экономической теории имеют следующую структуру: найти
при условиях
,
и одном из условий:
а)
б)
в) конец не закреплён.
Отличие
от рассмотренной ранее задачи состоит
дисконтном множителе
В этом случае удобнее рассматривать функцию Понтрягина вида
.
При
этом
,
откуда
Кроме
того,
поэтому
принимает вид
.
Сформулируем принцип максимума для этой задачи.
Теорема.
Если
оптимальная
пара, то существует непрерывная функция
и
число
,равное
0, либо равное 1 такие, что для всех
пара
при этом функция
максимизирует функцию
),
, т.е.
)
)
для всех ,
причём
а условиям (11) соответствуют условия трансверсальности:
А)
условия
на
не
накладываются;
Б)
причём
,
если
;
В) .
Достаточные
условия оптимальности решения при
состоят
в
выпуклости
вверх функции
от переменных
или
выпуклости
вверх функции
.
Пример. Найти
значение
не
закреплено.
Решение.
Поэтому
Предполагая,
что
,
получаем, что
при
этом
.
Сопряжённая функция удовлетворяет
уравнению
Таким образом,
Отметим,
что предположение
выполнено на промежутке
[0,20).
Из
уравнения
и
начального условия
находим
.
Выпуклость
вверх функции
по
переменным
означает, что решение задачи найдено.
Задача. Найти
конец не закреплён.
Задачи. Найти :
конец не закреплён.
конец не закреплён.
Задача. Найти :
конец не закреплён.
Задача. Решить задачу найти
двумя способами: используя уравнение Эйлера и используя принцип максимума.
Задача. Найти
конец не закреплён.