Корни многочленов

Рассмотрим нахождение корней квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решение уравнения , где – комплексные числа, .

Выполняя те же действия, что и при решении квадратного уравнения, приходим к уравнению

.

Обозначив , получим уравнение , где . Такое уравнение мы умеем решать. В результате получатся два корня, если , и один, если . Так как тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю, то количество корней определяется тем же условием: равен дискриминант нулю или нет. Кроме того, заметим, что если , то и . Поэтому корни уравнения можно записать в виде

, где означает одно из решений (любое!) уравнения . Отметим, что формулы также можно записать в виде, так как при вещественном выполнено .

Оказывается, что в поле комплексных чисел корни всегда существуют не только у квадратного трехчлена, но и у любого многочлена.

Теорема. Любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один корень.

Данная теорема по традиции называется основной теоремой алгебры. Доказательство ее достаточно сложное и поэтому здесь оно не приводится.

Интересно выяснить, сколько корней имеет многочлен степени . Мы уже знаем, что если , то корень один, если , то, как учили в школе, корней два. Кроме того, мы уже выяснили, что многочлен имеет ровно различных корней, если .

Теорема.  Для любого многочлена ненулевой степени в поле комплексных чисел справедливо разложение на множители:

Очевидно, что в указанном разложении числа являются корнями многочлена и других корней у него быть не может. Однако среди чисел могут быть и одинаковые. Поэтому корней может быть меньше, чем . Число одинаковых скобок в разложении называется кратностью соответствующего корня. Например, если , то - корень кратности 2, и - корни кратности 1 или, иначе, простые корни.

Из предыдущей теоремы легко получить теорему, дающую ответ на вопрос о числе корней многочлена.

Теорема. В поле комплексных чисел любой многочлен ненулевой степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

По вопросу практического нахождения корней стоит отметить следующее. Для нахождения корней многочленов третьей и четвертой степеней существуют формулы, позволяющие выразить корни многочлена через его коэффициенты. Для многочлена третьей степени - это формула Кардано. Нахождение корней многочлена четвертой степени сводится к нахождению корней многочлена третьей степени методом, принадлежащим Феррари. Для многочленов выше четвертой степени доказано, что их корни нельзя выразить через их коэффициенты с помощью радикалов.

Однако, даже для многочленов третьей и четвертой степени, как правило, корни находят без использования указанных выше формул, так как те дают очень громоздкие выражения. Обычно корни находят приближенно, с помощью различных вычислительных алгоритмов.

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй: .

Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй: .

Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов: .

Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй: .

Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй: .

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов: .

Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов: .