Формула бинома Ньютона

Если -й член ( -е слагаемое) разложения степени бинома обозначать через , то .

Функция называется симметрической, если для и выполнено равенство .

Пример. Многочлен от двух переменных является симметрической функцией. В самом деле, .

Тема 1.4. Корни и степени

Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными.

Корнем -й степени из числа называется такое число , -я степень которого равна ( ). Обозначается  , где – подкоренное выражение (или число), –показатель корня ( ).

По определению , если , или  .

Основные свойства корня

Если корни рассматривать на множестве действительных чисел, то:

а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;

б) корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел не существует;

в) корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;

г) корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;

д) корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.

Действие, посредством которого отыскивается корень  -й степени из данного числа  , называется извлечением корня  -й степени из числа  , а результат извлечения корня в виде  называют радикалом.

Арифметический корень и его свойства

Арифметическим значением корня или арифметическим корнем степени   ( ) из положительного числа   называется положительное значение корня. Корень из нуля, равный нулю, также будет называться арифметическим корнем, т. е.  есть арифметический корень, где .

Множество неотрицательных действительных чисел замкнуто относительно извлечения арифметического корня, а результат этого действия однозначен. Это значит, что для любого неотрицательного числа  и натурального числа   ( ) всегда найдется, и притом только одно, такое неотрицательное число , что  .

Степень с рациональным показателем

Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное ( ), называется число  _. Итак,  .

Например, .

Степень числа определена только для положительных показателей;

по определению , для любого .

Замечания

1. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального число положительно.

2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального . Значение также не зависит от формы записи рационального числа .

3. При рациональная степень числа не определяется.

Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).

Степень с действительным показателем.

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа  мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого  мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого  мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения   и для любого действительного числа  ? Оказывается, что для положительных чисел  можно придать смысл записи , где - иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: .

1. Если , то по определению полагают, что .

2. Если , то выберем любое рациональное число и любое рациональное число . Тогда, очевидно,  и, следовательно: .

Но  и потому (так как )  и, наконец, .

Под  понимают такое число, которое лежит между  и  при любом выборе чисел  и   обладающих свойством . Можно доказать, что число  существует и единственно для любого и любого иррационального .

3. Если , то выберем любое рациональное число  и любое рациональное число . Тогда, очевидно,  и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для ). Под  понимают такое число, которое лежит между  и  при любом выборе чисел  и  , обладающих свойством . Можно доказать, что число  существует и единственно для любого и любого иррационального .