31. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса. Эквивалентность неприводимости многочленов над полемрациональных и кольцом целых чисел.

Ненулевой многочлен f = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+. . .+a_n−1x+a_n ∈ Z[x] называется примитивным,если его коэффициенты a₀, a₁, . . . , a_n взаимно просты в совокупности.

Лемма Гаусса. Произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом.

Доказательство. Пусть

и многочлены g и h примитивны. Поэтому для любого простого p найдутся такие s и t, что

b_i:p (i = 0, 1, . . . , s − 1), b_s<:>p, c_j;p (j = 0, 1, . . . , t − 1), c_t<:>p.

Докажем, что a_s+t<:>p, что докажет примитивность многочлена f. Имеем

Каждое из слагаемых b_s−1c_t+1, b_s−2c_t+2 и т. д. делится на p, так как b_i:p при i < s. Каждое из слагаемых b_s+1c_t−1, b_s+2c_t−2 и т. д. делится на p, так как c_j:p при j < t. Но b_sc_t<:>p.

Теорема. Если многочлен f э Z[x] допускает разложение на многочлены g э Q[x] и h э Q[x], то f допускает также разложение на многочлены cg э Z[x] и c1h э Z[x], где c, c1— некоторые константы.

Доказательство.

НОД(p, q) = 1, НОД(p₁, q₁) = 1

Так как f ∈ Z[x], то qq1 должно сократиться с pp1^g^h. Но многочлен ^g^h примитивен, поэтому знаменатель qq₁ должен сократиться с pp₁, т. е. (pp₁)/(qq₁) ∈ Z. Полагая,

например, c = p₁/q₁, c₁ = q₁/p₁, получаем f = (cg)(c₁h),

причем

Следствие. Многочлен f э Z[x] неприводим над Q тогда и только тогда, когда он неприводим над Z, т. е. не допускает разложения на многочлены ненулевой степени из Z[x].

Приведенное следствие существенно облегчает доказательство неприводимости многочленов над полем Q. Приведем одно из известных достаточных условий неприводимости многочлена над Q.

32. Признак Эйзенштейна неприводимости многочленов над кольцом целых чисел.

Пусть

— примитивный многочлен, причем существует простое p, такое, что

тогда f неприводим над Z и, следовательно, над Q.

Доказательство. Предположим противное. Пусть f = gh, где

Для определенности будем считать, что k ≤ m. Имеем

Так как a_n:p и a_n6:p², то из (γ₀) следует, что один из коэффициентов bm или c_k делится на p, а другой нет. Рассмотрим случай b_m:p, c_k<:>p. Противоположный случай рассматривается аналогично.

Так как a_n−1:p, b_m:p и c_k<:>p, то из (γ₁) следует, что b_m−1<>p. Так как a_n−2<>p, b_m−1<>p, b_m<>p и c_k<:>p, то из (γ₂) следует, что b_m−2:p. Продолжая аналогичные рассуждения далее, в частности, из (γ_n−k) получим, что b₀:p. Теперь из (γ_n) вытекает a₀:p. Противоречие.

33. Алгоритм Кронекера разложения многочлена над кольцом целых чисел.

Метод Шуберта–Кронекера — это классический метод нахождения разложения многочлена с целыми коэффициентами на неприводимые множители. Он основан на двух простых наблюдениях. Пусть f ∈ Z[x], deg f = n. Если f = gh, где g ∈ Z[x] и h ∈ Z[x], то deg g ≤ s или deg h ≤ s, где

s = ⌊n/2⌋. Далее, если x₀ ∈ Z, то f(x₀):g(x₀) и f(x₀):h(x₀).

Метод заключается в следующем. Выбираем x₀, x₁, . . . , x_s — некоторые попарно различные целые числа. Составлям всевозможные наборы c₀, c₁, . . . , c_s, такие, что c_j — произвольный делитель числа f(x_j ) (j = 0, 1, . . . , s). Для каждого такого набора восстанавливаем многочлен g, такой, что g(x_j ) = c_j (j = 0, 1, . . . , s) (например, по формуле интерполяционного многочлена Лагранжа). Делением проверяем f: g. Если f = gh, то применяем к многочленам g и h ту же процедуру. Если f не делится ни на один из построенных многочленов g, то f неприводим над Q.

34. Геометрические векторы. Линейные операции над ними. Коллинеарные и компланарные векторы <Школьная программа>

Базис. Аффинная (общая декартова) и прямоугольная системы координат.

Теорема. Пусть e₁, e₂ образуют базис на плоскости. Тогда для любого вектора a на плоскости существуют, причем единственные, скаляры α₁ и α₂, такие, что

a = α₁e₁ + α₂e₂

Доказательство. Существование. Отложим векторы из одной точки O. Через конец вектора a проведем прямую параллельно вектору e₂ до пересечения с прямой, на которой лежит e₁. Аналогично, через конец вектора a проведем прямую параллельно вектору e₁ до пересечения с прямой, на которой лежит e₂. Получаем, что a = α₁e₁ + α₂e₂ для некоторых чисел α₁, α₂.

Единственность. Предположим, что имеется два разложения:

т. е. векторы e₁ и e₂ коллинеарны, что невозможно, так как они образуют базис. К аналогичному выводу приходим, предположив, что α₂ <> β₂. Следовательно, α₁ = β₁, α₂ = β₂, т. е. разложение по базису единственно.

Равенство называется разложением вектора a по базису e₁, e₂, а скаляры α₁ и α₂ —координатами вектора a в базисе e₁, e₂.

Тот факт, что координаты вектора a в базисе e₁, e₂ суть α₁ и α₂, будем записывать следующим образом:

или (чтобы уточнить, в каком базисе заданы координаты)

Совокупность некоторой фиксированной точки O (полюса) и базиса e1, e2 на плоскости называется (аффинной) системой координат. При этом точка O называется началом системы координат, а прямые, проходящие через O параллельно базисным векторам, — ее осями. На каждой из осей задается направление, определяемое направлением соответствующего базисного вектора. Оси системы координат на плоскости традиционно называются осью абсцисс (или осью Ox) и осью ординат (или осью Oy). Координатами точки A в некоторой системе координат O, e1, e2 называются координаты ее радиус-вектора:

[A] = [OA ]

Имеем AB =OA −OB , поэтому координаты вектора равны координатам его конца минус координаты начала.

Базис e1, e2 называется ортогональным, если векторы e1 и e2 ортогональны. Базис e1,e2 называется ортонормированным, если векторы e1 и e2 суть ортогональные единичные векторы. Если базис e1, e2 ортонормированный, то система координат O, e1, e2 называется прямоугольной, или декартовой системой координат.