23. Корни многочлена. Кратность корня. Производная многочлена. Корни производной.

Пусть K — ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей. Значением многочлена f = a₀x ⁿ ₊a₁x ⁿ⁻¹+. . .+a_n−1x+a_n ∈ K[x] в точке c ∈ K называется число из K, обозначаемое f(c) и равное f(c) = a₀c ⁿ + a₁c ⁿ⁻¹ + . . . + a_n−1c + a_n ∈ F

Если f(c) = 0, то c называется корнем многочлена f.

Очевидно, значение от суммы, разности и произведения многочленов совпадает с суммой, разностью и произведением значений соответствующих многочленов в той же точке.

Корень кратности k ≥ 2 многочлена f является корнем кратности k − 1 многочлена f′. Простой корень многочлена f не является корнем многочлена f′.Доказательство. Пусть c — корень кратности k многочлена f: f = q(x − c)^k, q<:>(x − c).

Тогда

f′ = q′(x − c)^k + q^k(x − c)^k−1 = (q′(x − c) + qk)(x − c)^k−1

Т.к. q′(x − c):(x − c), q^k<:>(x − c), то(q′(x − c) + q^k)<:>(x − c),

откуда следует доказываемое.

Следствие. Для того, чтобы корень многочлена f имел кратность k необходимо и достаточно, чтобы он являлся корнем последовательных производных многочлена f вплоть

до (k − 1)-го порядка и не являлся корнем k-й производной.

Производной многочлена

f = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + . . . + a_n−1x + a_n называется многочлен

f′ = a₀nxⁿ⁻¹ + a₁(n − 1)x

ⁿ⁻² + . . . + 2a_n−2x + a_n−1.

Индуктивно определим производную k-го порядка (или, просто, k-ю производную). Пусть f^(k−1) — производная (k − 1)-го порядка. Производной k-го порядка называется многочлен

f(k) = (f(k−1))′.

Корень кратности k ≥ 2 многочлена f является корнем кратности k − 1 многочлена f′. Простой корень многочлена f не является корнем многочлена f′.

Доказательство. Пусть c — корень кратности k многочлена f:

f = q(x − c)^k, q<:>(x − c).

Тогда f′ = q′(x − c)^k + qk(x − c)^k−1 = (q′(x − c) + qk)(x − c)^k−1.

Так как q′(x − c):(x − c), qk<:>(x − c),

то(q′(x − c) + qk)<:>(x − c),

откуда следует доказываемое.

Следствие. Для того, чтобы корень многочлена f имел кратность k необходимо и достаточно, чтобы он являлся корнем последовательных производных многочлена f вплоть до (k − 1)-го порядка и не являлся корнем k-й производной.

24. Лемма (Лемма о младшем члене). Если α э C и |α| < a, то |αⁿ+a₁αⁿ⁻¹+. . .+a_n−1α| <|an|.

Доказательство.

|αⁿ + a₁αⁿ⁻¹ + . . . + a_n−1α| ≤ |α|ⁿ + |a1||α|ⁿ⁻¹ + . . . + |a_n−1||α| <

< a · (aⁿ⁻¹ + |a₁|aⁿ⁻² + . . . + |a_n−1|) ≤

≤ a · max {A, 1} · (aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² + . . . + 1) ≤

≤ a · max {A, 1} · n ≤ |an|.

Лемма доказана.

25. Лемма о старшем члене.

Если α э C и |α| ≥ A+1, то |αⁿ| > |a₁αⁿ⁻¹+. . .+a_n|.

Доказательство.

|a₁αⁿ⁻¹ + a₂αⁿ⁻² + . . . + a_n| ≤ |a₁||α|ⁿ⁻¹ + |a₂||α|ⁿ⁻² + . . . + |a_n| ≤

≤ A(|α|ⁿ⁻¹ + |α|ⁿ⁻² + . . . + 1) = A ·(|α|ⁿ − 1)/(|α| − 1)≤

≤ A ·(|α| − 1)/A= |α|ⁿ − 1,

откуда следует требуемое неравенство.

26. Доказательство основной теоремы алгебры.

Любой многочлен f э C[x] степени не меньше 1 имеет по крайней мере один комплексный корень. ( «дамой с собачкой».)

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что старший коэффициент многочлена равен 1. Кроме того, будем считать, что свободный коэффициент не равен нулю, так как в противном случае число 0 является корнем многочлена. Итак,

f = xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + . . . + a_n−1x + a_n ∈ C[x], a_n <> 0.

Положим A = max {|a₁|, |a₂|, . . . , |a_n|}, a =

= min {1, a_n/(n max {A, 1})}.

Для доказательства теоремы исследуем линии, по которым проходит точка f(α), когда α пробегает на комплексной плоскости окружность |α| = r. При каждом фиксированном r > 0 линия f(α) — некоторая непрерывная замкнутая кривая. Если r = A + 1, то эта кривая ограничивает точку 0. Действительно, легко видеть, что кривая αⁿ обращается (по окружности |α| = rⁿ) вокруг нуля n раз. Однако так как по лемме о старшем члене |αⁿ| > |a₁αⁿ⁻¹+. . .+a_n|, то |f(α)| ≥

≥ |αⁿ|−|a₁αⁿ⁻¹+. . .+a_n| > 0, поэтому кривая

f(α) = αⁿ + a₁αⁿ⁻¹ + . . . + a_n также n раз обращается вокруг точки 0 (уже не обязательно поокружности).

Если r = a/2, то, по лемме о младшем члене

|f(α)−a_n| = |αⁿ+a₁αⁿ⁻¹+. . .+a_n−1α| < |a_n|,

поэтому кривая f(α) лежит ближе, чем на расстоянии |a_n|, от точки a_n. Следовательно, точка0 лежит вне этой кривой. Если r пробегает все вещественные значения от A + 1 до a/2, то рассматриваемая кривая непрерывно меняется. Но так как при r = A + 1 точка 0 лежит снаружи этой кривой, а при r = a/2 — внутри, то при некотором r кривая пересечет точку 0, т. е. для некоторого α получим f(α) = 0.