Вертикальные асимптоты

Определение №14. График функции при имеет верти- кальную асимптоту, если существует предел функции равный при , т.е. или [25].

Тогда уравнение вертикальной асимптоты будет иметь вид: .

Рис.11.

Пример 7. График функции , имеет вертикальную асимп- тоту [25].

Рис.12.

Свойства функции, имеющей предел в точке

Теорема №1. Если у функции в заданной точке существует конечный предел, то в некоторой проколотой - окрестности этой точки данная функция ограничена.

Доказательство

1. Пусть у функции существует конечный предел в точке . Требуется доказать, что функция ограничена в проколотой - окрестности точки , .

2. Согласно определению предела функции в точке по Коши такая - окрестности точки , , что для всех имеет место неравенство или .

3. Последнее неравенство и означает, что функция ограничена в указанной проколотой - окрестности точки , .

ч.т.д.

Теорема №2. Если у функции в заданной точке существует конечный, не равный нулю предел, то в некоторой проколотой - окрестности точки функция имеет тот же знак, что и указанный предел функции (в частности, она не равна нулю).

Доказательство

I.1. Пусть функция имеет конечный предел в точке И для определённости . Требуется доказать, что в некоторой проколотой - окрестности точки , , функция имеет тот же знак, что и предел, т.е. f(x)>0.

2. Согласно определению предела функции в точке по Коши такая проколотая - окрестность точки , , что для всех выполняется неравенство: или

или .

3. Из левой части двойного неравенства видно, что f(x)>0.

ч.т.д.

Замечание. При доказательстве теоремы для случая A<0 надо взять . Доказательство провести самостоятельно.

Свойства пределов функции

Лемма. Если и , то найдется такое , что для всех выполняются одновременно оба неравенства: и .

Доказательство

1. Пусть и . Требуется доказать, что

одновременно будут выполняться оба неравенства:

и .

2. По определению предела функции на бесконечности выполняется неравенство: .

3. Согласно определения предела функции на бесконечности найдется такое число , что для всех выполняется неравенство:

.

4. Выберем М наибольшим из , т.е. .

5. Тогда при будут выполняться одновременно два неравенства:

и .

ч.т.д.

Теорема. Функция не может иметь более одного предела, т.е. если и , то .

Доказательство

I.1. Пусть и и пусть , т.е. доказательство проведем методом от противного.

2. Рассмотрим две не пересекающиеся - окрестности точек ,

и .

3. Согласно только что доказанной лемме найдется такое число М, что будут выполняться одновременно два неравенства и , что равносильно:

или , и

или .

4. Таким образом, получилось, что и одновременно.

5. Но этого не может быть, так как окрестности не пересекаются.

6. Полученное противоречие и доказывает, что сделанное предположение не верно, следовательно, .

ч.т.д.

Замечание 1. Аналогично доказывается невозможность неравенства . Значит,

Замечание 2. Лемма и теорема остаются верны и в случае, когда или является одним из символов: .