Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим дугу окружности радиуса
с центральным углом, радианная мера
которого равна
,
причем
.
Проведем касательную
к точке
,
т.е.
.Так как
то
.
Очевидно, что площадь треугольника
меньше площади сектора
.
А площадь сектора
меньше площади треугольника
или можно записать: 
или
,
так как известно, что площадь сектора
вычисляется по формуле
,
а длина дуги
,
где
центральный
угол.Или
или (
).Разделим все части неравенства на
,
так как
,
получим 
.Найдем обратные величины от каждой части неравенства:
или
,
.Так как функция
при
имеет предел, равный
,
т.е.
,
то в соответствии с теоремой о сжатой
переменной
.
ч.т.д.
Замечание
Так
как функции
и
четны, то неравенство
справедливо и при
.
Следствие№1.
Доказательство
.
ч.т.д.
Следствие№2.
Доказательство
Функция
строго монотонна и непрерывна на
Обозначим
,
тогда
Функция , обратная функции
также строго монотонна и непрерывна
на отрезке
.Поскольку , а
,
то записи
и
эквивалентны.Вычислим предел
,
для этого применим правило замены
переменных для пределов непрерывных
функций.Итак,
,
тогда
.
ч.т.д.
Следствие№3.
.
Доказывается аналогично Следствию№2. Доказать самостоятельно.
Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела функции при (Критерий Коши существования предела функции в точке)
Теорема.
Для того
чтобы функция
имела в точке
конечный предел, необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовало такое
,
что для всех
,
таких, что
,
и
,
таких, что
,
удовлетворяющих неравенствам
и
,
выполнялось бы неравенство:
.
Доказательство необходимости
Пусть - конечное число, и существует конечный предел у функции
,
т.е.
.
Надо доказать, что будут выполняться
неравенства:
,
,
,
и
.Так как , то на основании определения предела функции в точке по Коши можно записать:
.Пусть также по заданному
,
что для
,
,
будет выполняться неравенство
.Сложим неравенства п.2 и п.3:
.Воспользуемся свойством модуля разности двух действительных величин:
.
или
. ч.т.д.
Доказательство достаточности
Пусть
.
Требуется доказать, что
,
R.Возьмем произвольную последовательность значений аргумента
,
сходящуюся к
,
,
N.По определению предела последовательности найдется такой номер
N,
что при
будет выполняться неравенство
.Наряду с номером
,
возьмем другой номер
,
чтобы одновременно выполнялись
неравенства:
и
.Тогда по условию теоремы будет выполняться неравенство:
.Это неравенство выполняется при единственном требовании, что их номера были больше
:
.Неравенство говорит о том, что последовательность значений функций
имеет конечный предел на основании
критерия Коши сходимости последовательности,
т.е.
.Так как - произвольная сходящаяся к
последовательность значений аргумента
при
,а
-
соответствующая ей последовательность
значений функции, сходящаяся к конечному
числу
,
то на основании определения предела
функции
в точке
по Гейне,
. ч.т.д.
Замечание.
Если
,
то критерию Коши можно придать следующий
вид:
.
2 модуль
Тема №3
Функции и их свойства. Операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Предел функции
Лекция №13
1. Второй замечательный предел и его следствия.
2. Бесконечно малые функции и их свойства.
3. Бесконечно большие функции.
4. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
5. Сравнение бесконечно малых функций.
6. Теоремы об эквивалентности бесконечно малых функций.
7. Практические рекомендации при сравнении бесконечно малых функций.
8. Сравнение бесконечно больших функций.
Второй замечательный предел
Доказательство
I.
1. Известно, что
,
N.
Пусть - произвольная последовательность значений аргумента:
,
сходящаяся к точке
справа.
,
,
т.е.
,
тогда
,
если
:
.Тогда можно записать, что
,
т.е.
-
убывающая последовательность,
ограниченная сверху «1» и снизу «0».Так как
,
то
в связи с тем, что
-
убывающая.Прибавим ко всем частям двойного неравенства по :
.Так как все слагаемые в неравенстве положительны, то возведем их в степени и
:
.Так как
,
то
.
Изменим показатель степени у среднего
выражения:
.
(*)
Определим пределы крайних выражений: а)
б)
.Применим теорему о сжатой переменной для неравенства (*), получим:
при
,
тогда
.Так как любая последовательность сходится к нулю справа при , а соответствующая последовательность значений функции
сходится к
при
,
то по определению предела функции в
точке по Гейне, и сама функция
при
;
.
II.
1. Пусть теперь
-
произвольная последовательность
значений аргумента, сходящаяся к нулю
слева при
,
,
(т.е. последовательность отрицательных
чисел, больших
).
Примем
.Тогда последовательность
будет стремиться к нулю справа при
и будет представлять последовательность
положительных чисел:
.Тогда
Вычислим пределы двух сомножителей при :
а)
б)
.
Таким образом,
,
.Так как
-
произвольная последовательность
значений аргумента, сходящаяся к нулю
слева при
,
,
и соответствующая последовательность
значений функции
при
,
то и сама функция
при
на основании определения предела
функции в точке слева по Гейне.Таким образом,
.
III.
Из доказанного I
и II
следует, что функция
имеет равные левый и правый пределы в
точке
.
Таким образом, она имеет предел в самой
точке
,
равный
:
. ч.т.д.
Замечание
Второй
замечательный предел можно записать и
по-другому, если заменить
на
.
Тогда при
,
и формула примет вид:
.
Следствие №1
Если
,
то
.
Доказательство
ч.т.д.
Следствие №2
Если , то
Доказательство