5. Напряжения при изгибе Основные теоретические сведения

При изгибе в одной плоскости, когда внешние нагрузки направлены перпендикулярно геометрической оси балки, в ее поперечных сечениях возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент (М) и поперечная сила (Q).

Изгибающий момент М в поперечном сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, действующих по одну сторону от этого сечения, относительно поперечной оси рассматриваемого сечения.

Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону сечения, спроецированных на ось, перпендикулярную геометрической оси балки.

При построении эпюр М и Q применяется правило знаков (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Для определения поперечных сил, изгибающих моментов и постро-ения эпюр М и Q применяют метод сечений, предварительно разделив балку на участки, в пределах каждого из которых нагрузка изменяется по непрерывному закону.

При плоском изгибе в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения, величина которых зависит соответственно от значений изгибающих моментов и поперечных сил. Для установления вида напряженного состояния и записи условия прочности рассмотрим эпюры нормальных и касательных напряжений, действующих в поперечном сечении балки симметричного профиля, например прямоугольного (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Знаки на эпюре ставят в зависимости от деформации продольных слоев балки: при растяжении знак "+", при сжатии – "–".

Если М > 0, то , если М < 0, то .

Знак на эпюре зависит от знака поперечной силы в рассматрива-емом сечении.

Нормальные напряжения при изгибе изменяются по высоте поперечного сечения балки по линейному закону.

Как видно из эпюры, максимальные напряжения возникают в точках, находящихся на верхних и нижних краях сечения:

, (5.1)

где М – изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

W_x – момент сопротивления сечения балки относительно оси изгиба (нейтральной оси).

Касательные напряжения при изгибе определяются по формуле Журавского:

, (5.2)

где Q – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

 – статический момент части сечения балки относительно нейтральной оси;

b – ширина поперечного сечения на уровне y, в котором определяется напряжение;

I_x – момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси.

Эпюра касательных напряжений очерчена кривой II порядка. Максимальными касательные напряжения будут в точках, расположенных на нейтральной оси (рис. 5.2). Для прямоугольного профиля

, (5.3)

где А = bh.

Так как максимальные нормальные напряжения намного больше максимальных касательных напряжений, то на практике расчет балок на прочность (а именно определение размеров сечения балки) ведется по нормальным напряжениям. В точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 5.2), будет одноосное растяжение-сжатие, т. е. линейное напряженное состояние.

Условие прочности будет записываться через максимальное напряжение.

Необходимые размеры поперечного сечения балок при изгибе рассчитываются из условия прочности по нормальным напряжениям:

; , (5.4)

где М_max – максимальное значение изгибающего момента, взятое из эпюры М;

W_x – момент сопротивления сечения при изгибе относительно нейтральной оси.

Для балок круглого и прямоугольного профиля формулы для W_x приведены в таблице приложения.

Для балок, изготовленных из прокатной стали (двутавры, швеллеры), значения W_x выбирают по сортаменту (см. приложения 7, 8).

Выбранное сечение проверяется по касательным напряжениям:

, (5.5)

где = 0,40,6 .

Если условие прочности выполняется – расчет закончен.

Если > , необходимо увеличить размеры поперечного сечения балки и повторить расчет.

Задание 5.

Для стальной балки, загруженной в соответствии с данными, приведенными в табл. 5.1:

а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

б) подобрать размеры балки указанного профиля из условия проч-ности по нормальным напряжениям;

в) проверить выбранное сечение по касательным напряжениям;

г) построить эпюры нормальных и касательных напряжений для указанного сечения;

Расчетную схему балки формируют на основании рис. 5.3 и данных табл. 5.1.

Рис. 5.3