Пример расчета

Расчет выполнен для балки, показанной на рис. 5.4.

Рис. 5.4

Таблица 5.1	Сечение, м	К	1,5	4,5	6,4	3,5	1,8	2,6	5,2	2,5	4,3	3,2	а	Примечание. Н – неподвижная шарнирная опора; П – подвижная шарнирная опора. Для прямоугольного сечения принять соотношение сторон 1:3. Соотношение диаметров для трубчатого сечения 1:3.
	Длина участка, м	l3	4	4	3	4	3	3	4	4	3	2	б
		l2	3	3	3	5	3	2	4	4	4	3
		l1	2	4	3	4	2	3	4	5	3	2
	Момент, кНм	М4	0	0	0	7	0	0	0	–11	0	0	в
		М3	0	0	10	0	–4	0	0	0	–8,5
		М2	0	8	0	0	0	–6	0	0	0	–5,5
		М1	5	0	0	0	0	0	–9	0	0	0
	Сила, кН	Р4	20	0	0	0	13	0	10	0	–24	0	д
		Р3	0	10,5	22	0	0	15	0	–35	18	15
		Р2	–15,5	10,5	0	5	10,5	0	0	20	0	–5
		Р1	0	0	–16,5	5	0	–20	25	0	0	0
	Тип сечения												в
	Распределенная нагрузка, кН/м	q3	4	–2	–3,0	5	–8	–7	0	–3	0	0	г
		q2	0	6,0	0	5	0	–7	–5	0	2	2
		q1	4,0	0	–3,0	0	–8	0	0	–3	2	–4
	Расположение опор	D	–	П	П	П	–	Н	–	Н	–	Н	д
		С	П	–	–	Н	Н	–	П	–	–	–
		В	–	–	Н	–	–	П	Н	–	П	–
		А	Н	Н	–	–	П	–	–	П	Н	П
	Цифра		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Буква

Для построения эпюр М и Q необходимо, чтобы вся внешняя нагрузка, действующая на балку, была известна, поэтому предварительно требуется определить опорные реакции (см. раздел "Статика" курса "Теоретическая механика"):

;

;

Проверка: ;

Следовательно, опорные реакции определены правильно. Знак "–" указывает на то, что направления реакций R_A и R_D противоположны их направлению, показанному на рис. 5.4. Рекомендуется перед построением эпюр М и Q рисовать на схеме истинное направление опорных реакций, как это сделано на рис. 5.5 и 5.7.

Рис. 5.5

Балка состоит из трех участков.

I участок рассматриваем слева:

, – прямая;

при кН;

при кН·м;

– парабола;

при кН;

при кН·м.

Так как эпюра поперечной силы на I участке пересекает базовую линию , исследуем функцию М на экстремум:

, м;

при кН·м кН·м.

На II участке (рис. 5.6) рассматриваем левую отсеченную часть балки:

Рис. 5.6

;

– (const);

кН;

– прямая;

при z₂ = 4 кН·м;

при z₂ = 6 кН·м.

На III участке (рис. 5.7) рассматриваем правую отсеченную часть:

;

– прямая;

при кН;

при кН.

Рис. 5.7

– парабола;

при кН;

при кН·м.

Исследуем функцию М на экстремум, так как эпюра поперечной силы на III участке пересекает базовую линию:

; м;

; кН·м.

По полученным данным строим эпюры М и Q (рис. 5.8).

Рис. 5.8

Для проверки правильности построения эпюр необходимо воспользоваться дифференциальными зависимостями

;

и следствиями, вытекающими из них.

Например, из зависимости следует, что при возрастании изгибающего момента М поперечная сила Q будет иметь знак "+", при убывании – знак "–". Проверим это соотношение на построенных эпюрах (рис. 5.8). На участках e–f и m–n Q имеет знак "–" и М убывает.

Определим диаметр балки.

Из условия прочности по нормальным напряжениям

.

Так как рассматриваемая балка имеет круглое поперечное сечение, то

,

отсюда диаметр балки

.

Из эпюры изгибающих моментов

кН·м; ; м.

Принимаем d = 0,068 м.

Проверим перенапряжение балки:

.

Па = 162 МПа.

Перенапряжение равно:

= 1,25 %,

так как 1,25 % < 5 %, следовательно, допустимо.

Проверим сечение балки по касательным напряжениям, .

Примем МПа.

Максимальные касательные напряжения для балок с круглым поперечным сечением

;

кН – из эпюры поперечных сил;

;

1,51 МПа < 96 МПа. Условие прочности выполняется.

Эпюры нормальных и касательных напряжений для сечения К = 5 м построены на рис. 5.9.

Рис. 5.9

Знаки на эпюре σ поставлены в соответствии с изгибом балки при М > 0.

.

Для нахождения значения изгибающего момента необходимо в уравнение М на втором участке подставить z₂ = 5 м:

кН·м;

Па = 81 МПа.

Знак на эпюре τ – "+", в соответствии со знаком поперечной силы в рассматриваемом сечении.

.

Для нахождения значения поперечной силы необходимо в уравнение Q на втором участке подставить z = 5:

кН;

= 183 662,8244 Па 0,184 МПа.