Завдання 3

Виробничий процес фірми характеризують такі дані:

• β = 0,55 – N²/10000 (варіанти 1-14)абоβ = 0,7 – N²/10000 (варіанти 15-35);

• α = 0,99 – β + N²/10000;

• A = N +10.

Використовуючи ці та інші дані виконати такі завдання:

1. На основі даних таблиці довести, що існує спадна віддача від праці, припускаючи, щоприріст кількості праці становить 0,5N. Проілюструвати спадну віддачу від праці на графіку.

   K	L	Q
   N	0
   N
   N
   N
   N
   N
   N
   N

2. На основі даних таблиці довести, що існує спадна віддача від капіталу, припускаючи, що приріст кількостікапіталу становить N. Проілюструвати спадну віддачу від капіталуна графіку.

   K	L	Q
   0	2N
   	2N
   	2N
   	2N
   	2N
   	2N
   	2N
   	2N

3. На основі даних таблиці довести, що існує певний тип віддачі (залежно від того, якою є сума α + β стосовно 1).

   K	L	Q
   N²		100N
   2N²
   4N²

4. Заповнити таблицю при умові, що кожне наступне значення Lменше від попереднього на 10 (варіанти 1-5), на 8 (варіанти 6-14), на 6(варіанти 15-35) та виконати такі завдання:

Варіанти 1-5			Варіанти 6-14			Варіанти 15-35
K	L	Q	K	L	Q	K	L	Q
	90–N	100N		120–N	100N		130–N	100N
		100N			100N			100N
		100N			100N			100N
		100N			100N			100N
		100N			100N			100N
		100N			100N			100N
		100N			100N			100N
		100N			100N			100N
		100N			100N			100N

1. Записати рівняння виробничої функції та алгебраїчний вираз ізокванти.

2. Побудувати ізокванту, обчислити граничну норму технічної заміни для кожної точки ізокванти;

3. При цінах на ресурси: , – визначити витрати виробництва для кожної величини праці і капіталу. Встановити серед усіх визначених значень витрат мінімальне та вказати комбінацію праці і капіталу, при якій досягається такий рівень витрат. Для визначеного рівня витрат записати рівняння ізокости та зобразити її графічно.

Примітка: значення Z₃ можна отримати у викладача тільки після повного виконання завдань 1 та 2, а також усіх попередніх пунктів цього завдання. Інформацію про величину Z₃ студент у присутності викладача вписує до відповідної таблиці бланку завдання.

4. З’ясувати, чи є визначений в попередньому пункті рівеньвитрат найменшим, який потрібний для виробництва заданого обсягу продукції при заданих комбінаціях праці і капіталу. Якщо так – побудувати відповідну модель виробництва певного обсягу продукції за найменших витрат. Якщо ні – визначити, якими повинні бути величини праці і капіталу, аби витрати були найменші, і відповідно побудувати модель виробництва за найменших витрат.

Приклад розв’язування

Покажемо розв’язок цього завдання на прикладі варіанта № 36.

Для нашого варіанту початкові дані мають вигляд: β = 0,5704; α = 0,5492; A = 46.

K	L	Q	ΔQ	MPL	APL
36	0	0	-	-	-
36	18	1711,932	1711,932	95,107	95,107
36	36	2542,109	830,177	46,121	70,614
36	54	3203,587	661,478	36,749	59,326
36	72	3774,867	571,28	31,738	52,429
36	90	4287,253	512,386	28,466	47,636
36	108	4757,12	469,867	26,104	44,047
36	126	5194,342	437,222	24,29	41,225

Як видно з таблиці, кількість праці зростає на однакову величину, а саме: ΔL=18. В результаті збільшення кількості праці обсяг виробництва також зростає, проте темп приросту(ΔQ) сповільнюється, тобто граничний продукт праці (MP_L) падає. За таких умов, коли збільшення кількості праці на певну фіксовану величину при незмінній кількості капіталу призводить до сповільнення зростання обсягу виробництва (до спадного граничного продукту), існує спадна віддача від праці. Зайвим підтвердженням спадної віддачі від праці є спадний характер середнього продукту.

Рис. 3.1. Спадна віддача від праці

K	L	Q	ΔQ	MPK	APK
0	72	0	-	-	-
36	72	3774,867	3774,867	104,857	104,857
72	72	5523,665	1748,798	48,578	76,718
108	72	6901,391	1377,726	38,27	63,902
144	72	8082,635	1181,244	32,812	56,129
180	72	9136,418	1053,783	29,272	50,759
216	72	10098,626	962,208	26,728	46,753
252	72	10990,804	892,178	24,783	43,614

Отже, з таблиці видно, що кількість капіталу зростає на однакову величину, а саме: ΔК=36. Кількість праці при цьому залишається незмінною. В результаті нарощування кількості капіталу обсяг виробництва зростає, однак темп приросту сповільнюється, тобто прослідковується спадний характер граничного продукту капіталу. За таких умов говорять про спадну віддачу від капіталу.

Рис. 3.2. Спадна віддача від капіталу

K	L	Q
1296	2,1026	3600
2592	4,2052	7822,322
5184	8,4104	16966,87

В даному випадку α + β = 1,1196> 1, отже, повинна існувати віддача від масштабів, що зростає. Це доводиться таким чином.

Як видно з таблиці, кількість вхідних ресурсів: праці і капіталу, – зростає вдвічі. Обсяг виробництва, проте, зростає більше, як вдвічі, а саме:

Q₂/Q₁=2,172867>2

Q₃/Q₂=2,172867>2

Отже, існує зростаюча віддача від масштабів.

K	L	Q
25,0339716	94	3600
26,8090044	88	3600
28,8491732	82	3600
31,2181738	76	3600
34,0017856	70	3600
37,3183205	64	3600
41,3356114	58	3600
46,2998605	52	3600
52,5872617	46	3600

1) Щоб записати рівняння виробничої функції потрібно початкові дані підставити у виробничу функцію Кобба-Дугласа, зокрема:

Для запису алгебраїчного виразу ізокванти, потрібно у виробничу функцію підставити значення Q з таблиці та виразити L через K чи навпаки.

2)Будуємо ізокванту:

Рис. 3.3. Ізокванта

Обчислюємо граничну норму технічної заміни для кожної точки ізокванти, використовуючи таку формулу: .

3)При w = 12960; r = 35795,52 визначаємо витрати виробництва для кожної з комбінацій праці і капіталу.

Витрати виробництва визначаються за такою формулою:

Отже, TC₁=2114344,03;

TC₂=2100122,254;

TC₃=2095391,158;

TC₄=2102430,766;

TC₅=2124311,596;

TC₆=2165268,688;

TC₇=2231309,704;

TC₈=2331247,584;

TC₉=2478548,378.

Серед усіх визначених значень витрат мінімальнимє значенняTC₃.

Таке значення досягається при такій комбінації праці і капіталу: L=82; К=28,8491732.

Рівняння ізокости матиме такий вигляд: .

Будуємо цю ізокосту:

Рис. 3.4. Ізокоста

4)Щоб з’ясувати, чи є обчислений в попередньому пункті рівень витрат найменшим, потрібно скористатись правилом найменших витрат: . Для спрощення дане правило записують в такому форматі: . Отже, в нашому випадку виявлено, що для виробництва заданого обсягу продукції при виявленій комбінації праці і капіталу: L=82; К=28,8491732, – дана рівність не досягається, а саме:

Примітка. Зверніть увагу на важливість правильного обчислення показників у контексті необхідної мінімальної кількості десяткових знаків після коми. У випадку недотримання цієї поради Ви можете отримати неправдиві результати та зробити неправдиві висновки.

Це означає, що даний рівень витрат не є мінімальним, а тому потрібно обчислити іншу комбінацію ресурсів, що забезпечуватиме виробництво заданого обсягу виробництва (Q=3600) за мінімальних витрат.

Тому, виходячи з рівності , обчислюємо оптимальні значення праці і капіталу. Порада: записуючи MRTS, потрібно використати раніше записаний алгебраїчний вираз ізокванти.

В результаті обчислень ми отримаємо такі оптимальні значення праці та капіталу: Lопт=82,3706; Копт=28,7144. Оптимальне, тобто мінімальне значення витрат, становитиме:

, що є нижчим від попередньо з’ясованого рівня.

Рівняння ізокости матиме такий вигляд: .

Будуємо модель виробництва за найменших витрат.(Примітка: модель будується для тієї ж ізокванти, що побудована вище, але з новою ізокостою).

Рис. 3.5. Модель виробництва за найменших витрат

ЗАВДАННЯ 4

Використовуючи дані, що характеризують діяльність фірми, яка працює в умовах недосконалої конкуренції в довгостроковому періоді:

1. Визначити при якому обсязі виробництва і ціні фірма матиме максимальний прибуток і визначити величину цього прибутку.

2. Побудувати криві середніх, граничних витрат, граничного і середнього доходів.

3. Побудувати модель максимізації прибутку за допомогою порівняння загального доходу і загальних витрат, а також за допомогою порівняння граничних витрат та граничного доходу.

4. Проаналізувати залежність між загальним і граничним доходами.

Початкові дані: ; ; .

Q	VC	FC	P	TR	AR	MR	TC	ATC	AVC	AFC	MC	TR–TC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Приклад розв’язування

Покажемо розв’язок цього завдання на прикладі варіанта № 36.

Q	VC	FC	P	TR	AR	MR	TC	ATC	AVC	AFC	MC	TR–TC
1	34,2	90	396	396	396	360	124,2	124,2	34,2	90,0	34,2	271,8
2	72,0	90	360	720	360	288	162	81,0	36,0	45,0	43,2	558,0
3	124,2	90	324	972	324	216	214,2	71,4	41,4	30,0	63,0	757,8
4	201,6	90	288	1152	288	144	291,6	72,9	50,4	22,5	93,6	860,4
5	315,0	90	252	1260	252	72	405	81,0	63,0	18,0	135,0	855
6	475,2	90	216	1296	216	0	565,2	94,2	79,2	15,0	187,2	730,8
7	693,0	90	180	1260	180	–72	783	111,86	99,0	12,86	250,2	477,0
8	979,2	90	144	1152	144	–144	1069,2	133,65	122,4	11,25	324,0	82,8
9	1344,6	90	108	972	108	–216	1434,6	159,4	149,4	10,0	408,6	–462,6
10	1800,0	90	72	720	72	–288	1890	189,0	180,0	9,0	504,0	–1170,0
11	2356,2	90	36	396	36	–360	2446,2	222,38	214,2	8,18	610,2	–2050,2

Заповнюючи таблицю, треба пам’ятати, що на ринку недосконалої конкуренції ціна не є фіксованою величиною для окремої фірми, а певною мірою залежить від цієї фірми. Для того, щоб заповнити 4 колонку потрібно скористатись рівнянням попиту: .

Примітка: визначаючи величини MR та MC у таблиці,краще скористатись функціями MR та MC, а саме: MR=TR´ та MC=TC´.

1. Якщо дивитись на результати обчислень у таблиці, то максимальний прибуток в розмірі 860,4 досягається при ціні 288 грн. і обсязі виробництва 4 одиниці. Проте чи є цей прибуток найбільшим. Для перевіркитреба скористатись правилом максимізації прибутку: .Як видно приданому обсязі виробництва MR= 180,0, а MC= 77,4. Зрозуміло, що ці величини не рівні. Тому потрібно проводити обчислення далі для обчислення оптимального значення ціни та обсягу виробництва, при яких прибуток буде максимальним. Для цього знову ж таки користуємось рівністю , тобто прирівнюємофункції MR та MC, визначаємо оптимальні значення Qта P, а також максимальний прибуток.

2. Будуємо криві середніх та граничних витрат, а також криві середнього і граничного доходів.

Рис. 4.1. Криві середніх і граничних витрат

Рис. 4.2. Криві граничного і середнього доходів

3. Будуємо моделімаксимізації прибутку.

Рис. 4.3. Максимізаціяприбутку фірмою, яка працює в умовах недосконалої конкуренції, за методом порівняння загальних витрат і загального доходу

Як видно з графіка крива загального доходу до певного обсягу виробництва лежить над кривою загальних витрат, тобто дохід при цих обсягах виробництва повністю покриває загальні витрати, і фірма отримуєприбутки. Максимальний прибуток досягається в точці, де відстань по вертикалі між кривими загального доходу і загальних витрат є найбільшою. Ця точка визначається в пункті 1. Зрештою, найбільший прибуток можна дослідити і за кривою прибутку.

Рис. 4.4. Максимізаціяприбутку фірмою, яка працює в умовах недосконалої конкуренції, за методом порівняння граничних витрат і граничного доходу

Як видно з рис. 4.4. фірма максимізує прибутокпри обсязі виробництва Q*, що визначається точкою перетину MRіMC; крива попиту (AR) лежить над кривою середніх загальних витрат, отже ціна є більшою від середніх витрат і фірма отримує прибуток. Прибуток показаний площею заштрихованого прямокутника і обчислюється таким чином: .

4. Для пояснення залежності між загальним і граничним доходом побудуємо їхні криві.

Рис. 4.5. Залежність між загальним і граничним доходами

Дивлячись на графік, ми бачимо, що коли граничний дохід є додатнім, загальний при цьому зростає, і коли граничний дохід стає від’ємним, загальний дохід реагує на це зменшенням. При нульовому значення граничного доходу загальний дохід досягає свого максимуму.

ЗАВДАННЯ 5

В таблиці наведені дані про величину валового продукту праці і капіталу (TP_Lі TP_K відповідно). Обидва ресурси є змінними і купуються на конкурентному ринку. Товар реалізується також на конкурентному ринку. Ціна за годину роботи одиниці праці становить 10N грн, за годину використання капіталу – 15N грн, ціна товару – 5Nгрн.

L	TPL	MPL	APL	K	TPK	MPK	APK
10N	100N			10N	210N
20N	180N			20N	390N
30N	240N			30N	540N
40N	290N			40N	660N
50N	330N			50N	750N
60N	360N			60N	810N
70N	380N			70N	840N

Визначити:

1. Скільки одиниць праці і капіталу повинна використати фірма, щоб виробити з мінімальними витратами 990N одиниць продукції, та яка величина цих витрат

2. Скільки одиниць праці і капіталу повинна використати фірма, щоб одержати максимальний прибуток

3. Загальний обсяг продукції, при якому фірма одержить максимальний прибуток, валовий дохід при цьому, валові витрати та величину максимального прибутку.

Приклад розв’язування

1. Нам необхідно знайти таку комбінацію праці і капіталу, при якій витрати на виробництво 35640 (990•36) одиниць продукції були б найменшими. Це можна зробити, користуючись правилом мінімізації витрат: Отже, обчислюємо необхідні показники, знаючи, що за умовою w =360грн, r = 540грн.

–	–
0,022222	0,033333
0,016667	0,027778
0,013889	0,022222
0,011111	0,016667
0,008333	0,011111
0,005556	0,005556

Необхідна нам рівність досягається 4 рази:

• , при цьому TP_L = 6480, TP_K = 23760, отже загальний обсяг виробництва ТР = TP_L + TP_K = 6480 + 23760 = 30240;

• , при цьому TP_L = 8640, TP_K = 27000, отже загальний обсяг виробництва ТР = TP_L + TP_K = 8640 + 27000 = 35640;

• , при цьому TP_L = 11880, TP_K = 29160, отже загальний обсяг виробництва ТР = TP_L + TP_K = 11880 + 29160 = 41040;

• , при цьому TP_L = 13680, TP_K = 30240, отже загальний обсяг виробництва ТР = TP_L + TP_K = 13680 + 30240 = 43920.

Очевидно, що нас зацікавитьдругий варіант, коли , бо при цьому виготовляється необхідний обсяг продукції. Затаких умов кількість праці і капіталу відповідно становлять: Q_L = 1080, Q_K = 1800.

Тоді загальні витрати становитимуть: .

2. Для того, щоб визначити кількість праці і капіталу, при якій прибуток буде максимальним, потрібно скористатись правилом максимізації прибутку:

,

де MRP_L – граничний продукт праціу грошовому вираженні,

MRP_К– граничнийпродукткапіталуу грошовому вираженні.

Обчислюютьсяцівеличини таким чином:

За умовою продукція фірми продається на конкурентному ринку, отже, MR = P = 180.

–	–	–	–
1440	3240	4	6
1080	2700	3	5
900	2160	2,5	4
720	1620	2	3
540	1080	1,5	2
360	540	1	1

Отже, наша умова виконується, якщо Q_L = 2520, Q_K = 2520.

3. Відповідно до попереднього пункту загальний обсяг продукції, при якому прибуток буде максимальним, становить: .

Тоді загальний дохід становитиме: .

Визначаємо загальні витрати: .

Отже, максимальний прибуток становить: .