Тема 2. Спрощення збіжної системи сил

Система сил, прикладених до твердого тіла, називається збіжною, якщо лінії дії всіх сил перетинаються в одній точці. Оскільки в цьому означенні не фігурують розміри твердого тіла, то для зручності теоретичних міркувань його вважають необмеженим.

Нехай – збіжна система сил і нехай – точка перетину ліній дії сил.

Відомо, що точку прикладання сили можна переносити уздовж лінії дії сили (наслідок з аксіом 1 і 2). Тоді вихідну збіжну систему сил можна замінити еквівалентною системою сил, у якій усі сили мають спільну точку прикладання . Сили , прикладені до точки тіла, згідно з аксіомою паралелограма сил можна замінити однією силою . Сили й , прикладені до точки , замінимо силою . Продовживши цей процес, замінимо вихідну систему збіжних сил однією силою – її рівнодіючою. Ясно, що тіло буде перебувати в рівновазі під дією збіжної системи сил , якщо .

На практиці користуються скалярними умовами рівноваги тіла під дією збіжної системи сил. Для цього вводять у просторі декартову систему координат з осями . Рівність нулю вектора означає, що кожна з його координат (координати вектора це його проекції на осі декартової системи координат) дорівнює нулю, тобто

.

Це і є умови рівноваги тіла під дією збіжної системи сил у скалярній формі. Тепер можна сформулювати

Загальний план розв'язання задач статики

1. Виділити тіло, рівновагу якого слід розглядати.

2. Звільнити тіло від в'язів, замінивши дію в'язів на тіло реакціями. Зобразити всі сили, прикладені до тіла (включаючи й реакції в'язів).

3. Розумно вибрати декартову систему з осями .

4. Скласти рівняння рівноваги тіла ( у випадку збіжної системи сил).

5. Розв'язати одержану систему рівнянь і визначити шукані величини.

Розв'язання багатьох задач про рівновагу тіла суттєво полегшує

ТЕОРЕМА (про три непаралельні сили). Якщо тверде тіло перебуває в рівновазі під дією трьох сил, лінії дії двох з яких перетинаються, то лінія дії третьої сили проходить через точку перетину ліній дії перших двох сил.

Нехай тверде тіло перебуває в рівновазі під дією сил . Нехай лінії дії сил перетинаються в точці тіла.

Точки прикладання сил перенесемо в цю точку й після цього замінимо сили рівнодіючою (згідно з аксіомою паралелограма сил). Система трьох сил звелася до еквівалентної системи двох сил , під дією яких тіло перебуває в рівновазі. За аксіомою 1 у цьому випадку лінії дії сил повинні збігатися й проходити через їхні точки прикладання. Тому лінія дії сили повинна пройти через точку перетину ліній дії сил , що й було потрібно довести.

Приклад 1. Визначити силу, з якою залізна куля діє на гладку вертикальну стінку, якщо радіус кулі см, вага 30 кГ, довжина мотузки см.

Розв'язання. Згідно з планом розв'язання задач статики:

1. Звільнимо кулю від дії мотузки та стінки, замінимо дію цих в'язів на кулю реакціями.

2. Зобразимо сили, що діють на кулю

3. Введемо декартову систему координат як вказано на рисунку.

4. Складемо рівняння рівноваги кулі, враховуючи, що на кулю діє збіжна система сил (за теоремою про три непаралельні сили)

,

.

5. Розв’яжемо систему і отримаємо значення невідомих сил і :

, .

З трикутника ОКС знайдемо

.

З тотожності визначимо

,

а потім визначимо

.

Отже

.

Приклад 2. Визначити реакції опор балки

Розв'язання.

1. Досліджемо рівновагу балки АВ.

2. Замінимо дію опор на балку їх реакціями та .

Оскільки балка знаходиться в стані рівноваги під дією трьох сил , , , то лінії дії цих сил перетинаються в одній точці О (за теоремою про три непаралельні сили)

3. Введемо декартову систему координат з началом у точці А. З рисунку видно, що , , .

4. Складемо рівняння рівноваги балки, на яку діє збіжна система сил

,

5. Розв’яжемо систему і отримаємо значення невідомих сил і :

,

.

З трикутника АОВ знайдемо

.

З тотожності визначимо

.

Таким чином, , .

Приклад 3. Дві гладкі площини з'єднані під прямим кутом, причому одна з площин утворює кут з горизонтом. Знайти кут , який утворює з горизонтом важкий стрижень АВ в положенні рівноваги. Кінці стрижня лежать на гладких площинах.

Розв'язання. Складемо рівняння рівноваги стрижня. На стрижень діє збіжна система сил , та , тобто сила тяжіння стрижня та , - реакції гладких поверхонь. Під дією цих сил стрижень знаходиться в рівновазі. За теоремою про три непаралельні сили лінії дії сил , та перетинаються в одній точці. Позначимо її буквою D. Фігура ABCD – прямокутник, оскільки лінії дії реакцій і перпендикулярні прямим АС і ВС. У цьому прямокутнику діагональ DC вертикальна за теоремою про три непаралельні сили. У рівнобедреному трикутнику ОАС . Отже, . Як видно з рисунка, . Отже, .

Приклад 4. На кронштейні висить тягар, вага якого Р. Визначити зусилля в стержнях, вважаючи їх невагомими.

Розв'язання. Складемо рівняння рівноваги шарніра В. Кожен стрижень конструкції знаходиться під дією двох сил, прикладених до кінців (вагою стрижнів зневажаємо). Будемо припускати, що стрижень 1 розтягнутий, а стрижень 2 – стиснутий. На шарнір В стрижні діють силами і , спрямованими уздовж стрижнів. Таким чином, шарнір В знаходиться в рівновазі під дією збіжної системи сил , і :

Рівняння рівноваги шарніра мають вигляд:

, .

З цієї системи рівнянь знаходимо

,