Тема 4. Спрощення довільної системи сил

Введемо два нові важливі поняття статики: момент сили відносно точки й момент сили відносно осі. Нехай до точки твердого тіла прикладена сила . Моментом сили відносно точки тіла називають вектор , який позначають символом .

Якщо точка лежить на осі декартової системи координат, то проекцію вектора на цю вісь називають моментом сили відносно осі й позначають символом . З курсу аналітичної геометрії відомо, що координати вектора в декартовій системі координат дорівнюють проекціям цього вектора на осі . Отже, якщо точка є початком декартової системи координат, то вектор у цій системі координат має координати ( , , ), де , , є проекції вектора на осі .

Нехай до точки твердого тіла прикладена сила . Прикладемо до іншої точки тіла дві протилежно спрямовані сили й , паралельні силі й рівні їй за величиною.

Система сил і врівноважена (аксіома 1). Тому згідно з аксіомою 2 система трьох сил , і еквівалентна силі . Сили та утворюють пару сил з моментом . Таким чином, сила , що прикладена до точки твердого тіла, еквівалентна такій же силі , яка прикладена до точки цього тіла, й парі сил з моментом . Це твердження називають лемою про паралельний перенос сили.

Нехай на тверде тіло діє довільна скінчена система сил , , …, . Виберемо в тілі довільну точку й перенесемо в неї точки прикладення всіх сил системи. Точку будемо називати центром приведення. Для зручності розташуємо в точці початок декартової системи координат і позначимо через відкладені із точки радіуси вектори точок прикладання відповідних сил.

Після переносу точок прикладання всіх сил у точку вихідна система сил за доведеною лемою буде еквівалентною збіжній в точці системі сил і сукупності пар з моментами , …, .

Відомо, що дія декількох пар на тіло еквівалентна дії на тіло однієї пари сил, момент якої дорівнює сумі моментів усіх пар. Тому стає очевидним, що довільна система діючих на тіло сил , , …, еквівалентна збіжній системі сил, прикладених до центру приведення , та парі сил з моментом

.

Вектор називають головним моментом вихідної системи сил відносно центру приведення , а рівнодіючу збіжної в точці системи сил , , …, – головним вектором вихідної системи сил. Очевидно, .

Отже, доведена основна теорема статики: довільна система сил , , …, , прикладених до твердого тіла, еквівалентна одній силі , прикладеної до обраної точки тіла, та парі сил з моментом .

Одержимо тепер умови рівноваги тіла під дією довільної скінченої системи сил , , …, . Ясно, що коли виявиться, що для деякої точки тіла та , то це буде означати, що тіло перебуває у рівновазі, тобто система сил , , …, врівноважена. Якщо для однієї точки тіла встановлено, що й , то ясно, що й для будь-якої іншої точки тіла й . Отже, умови й для якої-небудь точки тіла є достатніми умовами рівноваги тіла під дією системи сил , , …, . Ці умови є й необхідними умовами рівноваги тіла, тобто якщо тіло перебуває в рівновазі під дією деякої системи сил, то для будь-якої точки тіла

(4.1)

На практиці користуються скалярними умовами рівноваги тіла. У деякій точці тіла розміщають початок декартової системи координат з осями й прирівнюють відповідні координати векторів у правих і лівих частинах векторних рівностей (4.1). Отже, скалярні умови рівноваги тіла під дією системи сил , , …, виглядають так:

(4.2)

Якщо система сил , , …, є плоскою, тобто лінії дії всіх сил лежать в одній площині , то рівняння рівноваги тіла будуть мати більш простий вигляд:

(4.3)

Інші рівняння (4.2) перетворюються в тотожності.

Приклад. Однорідна полиця ABCD вагою G, приєднана до вертикальної стінки за допомогою шарнірів A і B, утримується в горизонтальному положенні мотузкою ЕН. Визначити натяг T мотузки і реакції і шарнірів, якщо , . Мотузка EH утворює з полицею кут .

Розв'язання. Звільнимо полку від в'язів (мотузки, шарнірів А і В), а їх дію на полку замінимо реакціями , і . Реакції і циліндричних шарнірів А і В, як відомо, перпендикулярні їх осям, тобто осі Y. Розкладемо реакцію на складові і , а реакцію на складові і . Сила з боку мотузки, прикладена до точки Е полки, спрямована вздовж прямої ЕН від Е до Н. Сила прикладена в центрі полки. Всі перераховані сили зображені на рисунку. Система сил ( , , , , , ) є просторовою. Під дією цієї системи сил полка знаходиться за умовою задачі в рівновазі, тому на підставі формул (4.2)

,

,

,

,

,

.

З передостаннього рівняння рівноваги знайдемо

.

З останнього визначимо

.

З четвертого рівняння знайдемо

.

Нескладно переконатися, використовуючи перше і третє рівняння рівноваги, що , . Оскільки і , то з урахуванням перпендикулярності складових і отримуємо

, .

Таким чином, у розглянутій задачі

, .

Приклад 2. Однорідний гладкий стрижень КС вагою і довжиною 4м знаходиться в рівновазі в вертикальній площині. Верхньою частиною стрижень спирається на вертикальну стінку АВ довжиною 3м. Нижньою частиною стрижень спирається на гладку горизонтальну площину. Кінець С стрижня прив'язаний тросом АС до стіни. Визначити силу натягу Т троса і реакції і стіни і горизонтальній площині.

Розв'язання. На стрижень діє плоска система сил , , , під дією яких він знаходиться в рівновазі. Рівнодіюча сил тяжіння всіх матеріальних частинок стрижня, прикладена в центрі ваги О стрижня ( за способом симетрії). Складемо рівняння рівноваги стрижня, керуючись формулами (4.3)

,

,

.

З рисунку видно, що , .

Підставивши знайдені значення АС і h в рівняння рівноваги, отримаємо

, ,

.

Звідси

, ,

.

Отже,

, , .